重箱の隅が大好物（笑）今回も隅っこの方をつついていきます！ 極限とは？無限数列において，十分大きい番号nの項に限定して，その挙動を考えること．「十分大きい番号で常に●●が成り立つ」というのが極限の原則でした．“十分大きい”ももちろん大事ですが，…

ちょっと前の記事の続きです． イプシロンは卒業！ “攻め”の収束！ - yoshidanobuo’s diary 何かキッカケがあると，急に世界が開けることってありますね．数学をやる楽しみの１つです．常に嗅覚を敏感にしておきたいですね． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 数列{a_n}が…

例えば，y＝x^2-3x+1において，-3x+1の部分を取り出した直線 y=-3x+1 は，どんな直線でしょう？ y＝x^2-3x+1と連立すると x^2-3x+1＝-3x+1 という２次方程式が得られ，これは x^2＝0 ∴ x＝0（重解） です．図形的には，どういう意味でしょう？ そう，x＝0で…

黄金比は有名ですね．正五角形で，辺に対する対角線の長さの比で，x＝(1＋√5)/2．1,x,xの二等辺三角形を作ると，頂角は36°です． では，白銀比だと？コピー用紙の短い辺に対する長い辺の長さの比．Ｂ４を横に置いてタテ１，ヨコ x とおくと，半分にしたらＢ…

逆数をとるので，怪しいのは，a_6＝0 になること． 最初から数が並んでいて，逆数をとったものの極限では，数列の項を「十分大きい n でのみ」考えるから，1 / a_6 が存在していなくても，1 / a_7 は存在しており，何事もなかったかのように極限を考えること…

シャワーを浴びているときに，急にピンときました（笑）ぜひこの感動をお伝えしたく，キーボードを叩いています． 数列{a_n}がαに収束するとき， lim (1・a_1＋2・a_2＋‥‥＋n・a_n)/(1＋2＋‥‥＋n) ＝αとなるそうです． どうやって示しましょうか？ 最初はイ…

探求モードに入ってしまいました（笑）logを使って，「定義されるされない」と「真偽」について，考えてみようと思います． (1)は，前に書いた通りです． ☟真・偽は必ず判定できるとは限らない！ - yoshidanobuo’s diary私は「命題でない」が正解だろうと思…

「私はカッコイイ」 は真か偽か？私は「真」だと思っているが，「偽」だという人が存在しないとは言い切れない．きっと居ないだろうが，それを証明できないので，判断できない．もう少し正確に言っておこう． すべての人は，「私のことをカッコイイ」と思う …

今回も複素数の４つの観点 ① 実部・虚部の計算 ② 絶対値・共役の性質 ③ 極形式の利用 ④ 幾何的な考察 を思い出しておきます． ※z＝x + yiの共役複素数(x－yi)を，この記事では[z]と表すことにします． |[z]|＝|z|， arg[z]＝－arg z です．特に， 1 / z＝[z]…

なんか，収束ばかりやっていますね． 「収束は常に証明すべきだ！」 という意識が大事だと，私は思っています．だから，収束の証明にこだわるようにしています．とは言っても，「大人の定義」ベースで高校数学ではないのですけど・・・どうぞお付き合いくだ…

先日の2020年ジュニア広中杯の問題で三角形の形状を特定してみようとしたら，なかなか面白かった！ 答えは，５：７：６（順番を変えて５：６：７にすれば良かった・・・失敗） 真ん中にある円をどう見るか？ まず，△PQRの内接円であると見ることができます．…

数学を教える仕事を長くやってきたので，ちょっとは分かりやすく説明できるようになっているかな？という検証です（笑） 内容としては，これまでにもブログで２回紹介した，高校数学とは違う，大人の定義の活用についてです．「収束」を雑に扱ってはならない…

直線l,mの方向ベクトルとして u＝(1，2，－1) v＝(a^3－2a^2＋2，a^3－3a^2＋a＋3，a^3－2a) をとることができます． mの方向ベクトルにおいて，「x成分の2倍がy成分と等しい」ことが必要だから 2（a^3－2a^2＋2）＝a^3－3a^2＋a＋3 a^3－a^2－a＋1＝0 (a＋1…

2020年のジュニア広中杯の問題です． さて，「あること」って，何なんでしょう？謎のヒント，「○い●ん」とは？？ キーワードは相似，相似比です．色んな解き方がありますから，考えてみてください．ここでは，できるだけ鮮やかに解くことを目指します！ とい…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，３次関数になっても解けるでしょうか？ 同じようなセリフを何回も書いてますな（笑） 今回は，関数を合成してみました．初見だと，ちょっと戸惑わないですか？ 正解は，【a＞0，b…

お世話になっている出版社「現代数学社」の雑誌「現代数学・2020年10月号」に載っていた問題を見て考えた（思い出した）ことがあるので，ちょっと書いてみます． 中学入試算数の元ネタになることもある，整数・分数・小数の性質です． (1) 0. 38461538461538…

中学入試算数って，○○算が幅を利かせる世界だと思っていませんか？実はそんなことはなくて，解法当てはめで解ける問題ばかりではありません．（中学の難易度によって違いますけど，灘中ではそんなほとんど問題は出ません） 思考と工夫で乗り切るパズル的な問…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，３次関数になっても解けるでしょうか？ 前回も同じようなセリフを書いたような（笑）「漸近線に注目したら，d もすぐに分かる」という別解をいただき，悔しいので同じような問題で…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，２次曲線になっても解けるでしょうか？ 小難しい数学の理論を知っている子ではなくて，こういう問題にしっかり挑める子を育てたい，というのが私の思いです． 正解は，a＜0，b＜0…

ド・モアブルの定理で，特に n＝3 のとき， (cosθ＋i sinθ)^3＝cos(3θ)＋i sin(3θ) z＝r(cosθ＋i sinθ) (r＞0)とおくと， z^3＝r^3 {cos(3θ)＋i sin(3θ)} だから， z^3 の偏角は 3θ ‥‥(＊) ですね． と，思いきや・・・ (＊)は本当に正しいですか？？ 偏角の…

『曲線 x^3＋y^3－1－xy＝0 の漸近線 3x＋3y＋1＝0 を如何にして求めるか？』シリーズの最終回です． 図を見てください． ぽっこりカワイイ曲線は，45°回転すると，真横を向いたポッコリ曲線に変わりそうです．では，回転はどうとらえましょう？ 点Ｐ(p，q)…

ベクトルって，図形的センスがなくても計算で図形問題が解けるようになる，魔法の道具です． ※今回は，略記として，「ベクトルＡＢ」を（ＡＢ）と表すことにします． 例えば三角形ＰＱＲの垂心Ｈ．外心Ｏを始点にすると， （ＯＨ）＝（ＯＰ）＋（ＯＱ）＋（…

x=0 の周辺で，どこまでも周期を短くしながら振動．しかし，-x≦y≦x の外には出られない．この領域をほぼ埋め尽くすかのごとく，激しく振動します．とはいえ，各 x に対して１点ずつしかグラフ上の点は無いので，拡大すると実はスカスカ． x=0のときのy=0と定…

どうやって解きましょう？三角比を使って考えたりもできますし，同じ形をくっつけて真ん中に1辺が２の正三角形を描いてみたり，色々と考えられそうです． ここでは，60°と７から，「花子と花見」を連想したとします．ついでに，「七五三」も．「8・7・5」「8…

苦手な人が多い複素数平面．図形と代数の組合せという意味ではベクトルと近いですが，計算の意味をイメージするところがベクトルよりも難しいです．ベクトルも難しいのに，それよりも難しいなんて・・・という印象なのではないかと思います． 一番の特徴は，…

【大人の「収束の定義」 イプシロンεを使うヤツ】では，「αに収束」の定義を，「“αに収束”でない」から論理を使って構築しました．写真の中央部です．これを日本語だけで書くと，一番下のようになります．イメージ湧きにくいかも知れません・・・本当は図を…

いつもがっつり数学ですが，今回は，ちょっと数学に絡むけれど，ほぼ雑談のような内容です．唐突ですが，いまから2000年ほど前，古代ローマ・ギリシャの時代には，6面体サイコロが存在していたのをご存じですか？ 動物の骨・角だったり，ガラスだったり，青…

１つ目の問いの答えは②です．この書き方は，教科書的には認められないものです．（習慣的に書いている人も多いでしょうし，入試答案で減点されるとまでは言えないと思います．教科書には書かれることはない，ということは確かです） さて，「αに収束する」の…

この内容は，「教科書」から読み取った内容で，私の考えというわけではありません．「ホント？」と思われるところがあると思いますが，私の書いたことを踏まえて教科書をぜひ見返してください！おそらく分かっていただけると思います（教科書の言いたいこと…

唐突ながら， “極限”＋“不等式”＝“ハサミウチ” ですね！ さて，もともと，「式だけで漸近線を求める」という課題でしたから， 「図より，漸近線は 3x＋3y＋1＝0 である」 というのは，今回は避けることにします． ちなみに，k の範囲は １）曲線の式に，x＋y…