１つ目の問いの答えは②です．
この書き方は，教科書的には認められないものです．
（習慣的に書いている人も多いでしょうし，入試答案で減点されるとまでは言えないと思います．教科書には書かれることはない，ということは確かです）
さて，「αに収束する」の否定を厳密に述べたものが分かりました．
これを否定したら，「αに収束する」の定義になります．
否定の基本：
①すべてのＡで，Ｐが成り立つ
（否定）↓↑（否定）
Ｐが成り立たないようなＡが存在する
（あるＡで，Ｐが成り立たないものが存在する）
②Ｐ→Ｑが真である
（否定）↓↑（否定）
反例（Ｐを満たすがＱを満たさないもの）が存在する
●「αに収束する」の否定●
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
ある正数εで，(＊)を満たすものが存在する．
(＊)任意の自然数Nに対し，「n＞Nかつ|a_n－α|≧ε」となる自然数nが存在する
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
これを否定しましょう！
それが，「αに収束」の定義です．
●１段階目●
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
すべての正数εに対し，(＊)でない．
(＊)任意の自然数Nに対し，「n＞Nかつ|a_n－α|≧ε」となる自然数nが存在する
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
〇「(＊)でない」とは？〇
＋＋＋＋＋＋＋＋＋
ある自然数Ｎで，『「n＞Nかつ|a_n－α|≧ε」となる自然数nが存在する』でないものが，存在する
＋＋＋＋＋＋＋＋＋
〇『 』でないとは？〇
＋＋＋＋＋＋＋＋＋
【「n＞Nかつ|a_n－α|≧ε」となる自然数n】は，【Ｐ⇒Ｑ】の反例．
Ｐ，Ｑとは？
Ｐ：n＞N Ｑ：|a_n－α|＜ε
『【Ｐ⇒Ｑ】の反例nが存在する』でない，とは
【Ｐ⇒Ｑ】が真である
ということ．
＋＋＋＋＋＋＋＋＋
以上から，次のようにまとめることができます．
●２段階目●
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
すべての正数εに対し，
ある自然数Ｎで，
【n＞N ならば |a_n－α|＜ε】が真
であるものが，存在する
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
頑張って直接説明すると
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
「限りある近づき」の１つの基準としてεという数を，任意に（どれだけでも小さく）とっても，
ある番号Ｎ以降のすべての項a_n (n＞Ｎ)について，a_nの値とαの誤差がε未満となる．
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
です．
「どんなεについても」なので，「どこまでも限りなく近づく」という直観を表現するものになっていそうです．
これを大学の数学の授業でパッと与えられ，混乱してしまう人が多いようです．
まぁ，この記事の説明でしっくりくるかどうかと言われたら・・・
なかなか難しいですよね．
