なんか，収束ばかりやっていますね．
「収束は常に証明すべきだ！」
という意識が大事だと，私は思っています．
だから，収束の証明にこだわるようにしています．
とは言っても，「大人の定義」ベースで高校数学ではないのですけど・・・
どうぞお付き合いください．
大学教科書の演習レベルです．
授業で言うか言わないかは別として，大人は，εを使った論法も使えるようにしておいた方がよいのだろうと思います．
思い出していただくキッカケになれば嬉しいです．
分かりやすく説明できるか！？
a_n / n → 0 (n→∞)だから，「0+0+‥‥‥+0＝0に収束」
というのは間違いですよ！！
個数も∞になりますからね．
途中からは “ほとんどαの項” ばかりが並ぶわけだから，
それ以前の “αから離れた項” たちと分離しちゃえば良いのです．
離れた項たちは有限個しかないから，その和をｎで割ると，０に収束します．
これを正しく表現するために，まずは，懲りずに復習から．
「数列{a_n}が実数αに収束する」とは，
＊＊＊＊＊＊＊
どんな小さな正数εを固定しても，十分大きいｎについて，“常に”
|a_n－α|＜εが成り立つ
つまり，
どんな小さな正数εを固定しても，ある大きな自然数Ｎが存在して，
n＞Ｎとなる“すべてのｎ”について，|a_n－α|＜εが成り立つ
＊＊＊＊＊＊＊
ということ．
今回は，“平均”の収束について．
＊＊＊＊＊＊＊
数列{a_n}がαに収束するとき，
lim (a_1＋‥‥‥＋a_n)/n ＝α
＊＊＊＊＊＊＊
厳密にやると少し退屈だと思うので，言語ベースで書いていこうと思います．
＜証明＞
任意に，小さい正の数εを固定します．
十分大きいｎ（つまり，ｎ＞Ｎ）で常に
|(a_1＋‥‥‥＋a_n)/n －α|＜ε
となることを示せばＯＫ（Ｎの存在を示す）．
数列{a_n}がαに収束するとき，十分大きいｎで常に
|a_n －α|＜ε/ 2 ☜敢えてε/ 2 にしています！
が成り立ちます（つまり，n＞Ｍで常に不等式が成立，となるＭが存在）．
つまり，
|a_(Ｍ+1) －α|＜ε/ 2，|a_(Ｍ+2) －α|＜ε/ 2，‥‥‥
です．
Ｍは大きい自然数という設定ですが，大事なのは，定数であるということ．
特に，
n→∞ のとき， Ｍ/ n→0
など，極限をとるときには単なる定数です．
これで準備完了．
「十分大きいｎ（つまり，ｎ＞Ｍ）で常に
|(a_1＋‥‥‥＋a_n)/n －α|＜ε
となる」を示しましょう！
nをどこまでも大きくするので，nはＭよりも大きいときを考えれば十分です．
|(a_1＋‥‥‥＋a_n)/n －α|
＝|(a_1－α)＋‥‥‥＋(a_n－α)}|/n
＝|{(a_1－α)＋‥‥＋(a_Ｍ －α)＋(a_(Ｍ+1) －α)＋‥‥＋(a_n－α)}|/n
☝
Ｍの前後で分割！
＜|(a_1－α)＋‥‥＋(a_Ｍ －α)|/n
＋{|a_(Ｍ+1) －α|＋‥‥＋|a_n－α|}/n
＜(定数)/ n＋(n－Ｍ)ε/ 2n
＜(定数)/ n＋ε/ 2
(定数)/ n→0 (n→∞のとき)だから，十分大きいnで（つまり，n＞Ｍ’で常に）
(定数)/ n＜ε/ 2
が成り立ちます（ようなＭ’が存在する）．
Ｎとして，ＭよりもＭ’よりも大きい自然数をとると，n＞Ｎのとき，常に
|(a_1＋‥‥‥＋a_n)/n －α|
＜(定数)/ n＋ε/ 2 ＜ε/ 2＋ε/ 2＝ε
が成り立ちます．
これが証明したいことでした． （証明おわり）
やっぱりややこしいですね・・・
頑張って分かりやすく書いたつもりですが，いかがでしょう？
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