禅問答のようなタイトル（笑）等差数列×等比数列のタイプは，和を求める流れが確立されています． a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき， S_n=1*1+2*3+3*3^2+‥‥+n*3^(n-1) 3S_n= 1*3+2*3^2+‥‥+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n で，２式の両辺の差を計算すると -2S_n=1+3+…

極方程式 r=cosθ＋2 は何を表しているでしょうか？単なる x=rcosθ，y=rsinθ というパラメータ表示ですね．極座標のときはr≧0としますが，極方程式のときはr<0も許容します．θに偏角という図形的な意味があるのが面白いのです． θを消去すると，x,yの方程式に…

今日は１２／２５．世間ではクリスマスですが，私にとってはクリスMATHです（笑）クリスMATHプレゼントを用意していますので，お楽しみに．そうそう，共通テストが近づき，拙著の売れ行きが好調のようです．ありがとうございます．お持ちでない方は，こちら…

(★)は，確かに外接円を表しています． １）式の形から，円，直線，または，1点，または，∅ ２）ｚ＝α，β，γのとき(★)が成立 の２つから分かります．２）から，１）は円に決まり，３点を通る円は外接円しかないので，(★)は外接円を表す式であるしかありません…

公式の発見が止まらないです（笑）この公式を知っていた人も，「知ってたよ」「しょうもな」とか思わないでくださいね．「やっと吉田くんも私のところまで追いついてきたか．でも，まだまだだね」くらいにしておいてください（笑）どうぞ温かい目でご覧くだ…

問 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１辺の長さが１の正三角形ABCがある．三角形ABCの外接円の周上に点 P をとるとき， AP^2＋BP^2＋CP^2の値を求めよ． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊…

先日，ある動画をキッカケに考えていて，こんな公式を作っちゃいました！ どうでしょうか？見たことはありますか？もちろん，２Rを導く正弦定理を途中で使いますが，外接円とは関係ない量です．実は，三角形ABCの垂心をHとすると， AH＝a|cosA| / sinAとなる…

重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて，頭がおかしい人だと思われそうですが（笑）定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって，感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います．ということで，そんな例を紹介しています． 全体集合をＵとして…

先日の記事 同値記号を使って証明を書く - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー ですが，Facebookで画像とちょっとのコメントだけ公開していました．インスタと同内容です． https://www.instagram.com/p/CIcZkaalsx0/ これに…

AP＝2BPを満たす点Pの軌跡は円になることが知られており，アポロニウスの円と呼ばれるものの１つです．これを満たす点として，線分ABを2:1に内分する点，外分する点があって，これらを含む円になるはず．しかも，これらが直径の両端になるのでした．（内角・…

以前は同値記号⇔をよく使っていました．学生の頃は一切使っておらずでしたが，この仕事について初めて使うようになりました． 何も考えずに使っている時期もありましたが，よくなかったなぁ，と反省しています．当時は，条件と命題の違いも言語化できていな…

イギリスの数学問題集を見ていたら・・・ 帯分数って，日本の小学校限定のものだと勝手に思い込んでいました．そうじゃないんですね！？イギリスにもありましたよ．しかも，中学生くらいがやる問題に．日本では，中学で負の数が出てきたり，無理数（円周率と…

2次関数のグラフCのｘ座標がa,bである2点A,Bをとります．A,BにおけるCの接線の交点Pは，x座標が(a+b)/2の点であることが知られています（接線の方程式を連立）．ちょうど真ん中で交わります．図の①：①です．また，直線ABと放物線Cで囲まれる部分の面積は，(b…

方程式１つで領域を表すシリーズも，ここまで来てしまいました（笑） |x-1|+|x-2|=1が1≦x≦2を表すことは何度も紹介しました．右辺は，2-1の1です．これを応用しまくると， |y-f(x)|+|y-g(x)|=f(x)-g(x)に自然に到達しますね（ぼくだけ？）． f(x)≦y≦g(x)とい…

極方程式の応用の回の授業． 何だかんだやっているうちに菊の花のようになる極方程式を，生徒と一緒に作ることに（笑） 皇室御用達の16葉の菊紋は，後鳥羽上皇が使い始めたとか． 御番鍛冶といって各月担当の刀鍛冶を選出して，一緒に刀を作っていた後鳥羽上…

先日，図形としての「100」を１つの方程式で表しました． 100記事目なので，100を表す方程式！ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー そこで使った考え方を応用したら，１つの方程式でこんな図が描けるのですね． |A-1|+|A-…

やっと記事数が100になったので，記念に図形としての「100」を式で表してみました（笑） ABC＝0 ⇔ A＝0 または B＝0 または C＝0 で，３つの和集合． それぞれは， |x|+|x-1|=1 ⇔ 0≦x≦1 という性質を応用しています． 1つ目は， |A|+|B|=0 ⇔ A＝0 かつ B＝0 …

三角比を使って解いてはみましたが，これでは全然，面白くない！ということで，初等編！ ２つの直角三角形ABEとBCFが合同なので，求める面積は，三角形ABGの面積と等しいです．鋭角の１つが15°で斜辺の長さが６の直角三角形です．これを２つくっつけると・・…

「最小値≧6となるaの条件」を考えるのだから，aは“未知数”の扱いで，1),2),3)は“最終的”には『範囲の分割』になります．しかし，最小値を求める段階（xを消去するとき）には，aを“文字定数”として扱い，1),2),3)は“いったん”は『答えの分類』になっています…

また変な式を作ってしまいました（笑）どうやって作ったかをお話します． a＜0においては，2a^2+1 0≦a≦1においては，2a^2+1 - a^2 a＞1においては，2a^2+1 - a^2 + (a-1)^2 となっていることに注目しました． ということで， a＜0においては，0 a≧0において…

「～のとき」と分けて解くことを，何でも「場合分け」と呼んでしまいますが，実は色々ありますよね．その違いを意識していないと，思わぬところでミスをしてしまう可能性があるのではないかと思います．授業していて，「分かっていないのかな？」と思う節が…

悪ノリが止まりません（笑） y＝x^2 (0＜x≦1) を |y-x^2|+||x|/x-1|+||x-1|＋x-1|＝0 と表しました．なかなか素敵と自画自賛しています． 色んな図形を１つの方程式で表す快感① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 色んな…

私の十八番，悪ノリです． y=x^2（0≦x≦1)を１つの方程式で表そう！ １）√を利用して y＝x－(√{x(1-x)})^2 →ルートを2乗するとx(1-x)になるので，y=x^2と同じ式． でも，ルートが定義されるｘしか考えられないので，0≦x≦1です！ ちょっとズルい？ ２）絶対値…

今回は，複素数平面で，変換，特に反転などについて書きました． 「極」をキーワードに，いくつかのネタを組み合わせています． お楽しみに． 定期購読されていない方は，ぜひ，こちらから． 👇

y=x^2（x≧0)を表すのに， １）「0以上」が定義域・値域になる√を利用して x＝√y ２）「0以上」だけで成り立つ|x|=xを利用して |y-x^2|+||x|-x|＝0を紹介しました。． ２）では，| |≧0だから， y-x^2＝0 かつ |x|-x＝0 つまり y＝x^2 かつ |x|＝x としていま…

チェビシェフシリーズ，最終章です！ 角度が整数で，コサインが有理数になるのって，どんなとき？なかなか深いテーマです．これを扱うために，何回もチェビシェフの多項式について述べてきました．集大成！ ［結論］0°～180°では，コサインが有理数になる整…

6倍角の公式の元になるチェビシェフの多項式は T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 でした．つまり， cos(6θ)＝32(cosθ)^6－48(cosθ)^4＋18(cosθ)^2－1 となるわけです．2倍することで 2cos(6θ)＝(2cosθ)^6－6(2cosθ)^4＋9(2cosθ)^2－2 となり，ちょっと嬉しい…

チェビシェフの多項式T_n(x)は， x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる のでした！漸化式を用いて数学的帰納法で証明しましたが，別の方法も考えてみましょう． ここで，複素数が再登場です！ T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 を別ルートから考えます…

チェビシェフの多項式T_n(x)は，２次以上の部分は，すべて係数が偶数になっているのですね！ただし，ここに書かれているのはｎ≦６だけですから，ｎ≧７でもそうなっているのかは分からない！この法則は，本当にずっと続くのでしょうか？ さて，以下，T_n(x)を…

ド・モアブルの定理と二項定理で，ｎ倍角の公式を作るのは，けっこう有名かも知れませんが，これから内容を発展させていくなかで触れておきたいな，ということで． (cosθ＋i sinθ)^2＝cos(2θ)＋i sin(2θ) と (cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ)^2＋2i sinθcosθ－(sinθ…