極方程式
r=cosθ+2
は何を表しているでしょうか?
単なる
x=rcosθ,y=rsinθ
というパラメータ表示ですね.
極座標のときはr≧0としますが,極方程式のときはr<0も許容します.
θに偏角という図形的な意味があるのが面白いのです.
θを消去すると,x,yの方程式になります.
その際には,
r^2=x^2+y^2,
x=rcosθ,y=rsinθ
を用います.
r=cosθ+2 ……①
今回はr>0なので,①の両辺にrをかけると
r^2=rcosθ+2r
∴ x^2+y^2=x+2r ……②
です.残ったrを消すには
x^2+y^2-x=2r
としてから,両辺を二乗して
(x^2+y^2-x)^2=4(x^2+y^2) ……③
を得ます.
ところで,
① ⇔ ② ⇔ ③
でしょうか??
①と②については,何らかのθのときにr=0となるのであれば,同値でOKですが・・・
今回は,
② ⇔ ① または r=0
① ⇔ ② かつ r≠0
です.
二乗したら同値でないことはよくご存じかなと思います.
③ ⇔ ② または x^2+y^2-x=-2r
⇔ ② または x^2+y^2=x-2r
② ⇔ ③ かつ x^2+y^2-x≧0
ですね.
ということで,
③ ⇔ r=cosθ+2 または r=0 または r=cosθ-2
です.
r=0は,原点を表しています.
よって,③は元の極方程式とはちがう図を表しています.
では,極方程式
r=cosθ-2
は,何を表しているのでしょう?
これが表す図形は
(x,y)=(cosθ-2)*(cosθ,sinθ)
とパラメータ表示されます.θのところをθ-πに変えると
(x,y)=(cos(θ-π)-2)*(cos(θ-π),sin(θ-π))
= (-cosθ-2)*(-cosθ,-sinθ)
= (cosθ+2)*(cosθ,sinθ)
となって,①をパラメータ表示したものと一致します!
ということは,出来上がる図形全体も等しいことがわかる.
r=cosθ+2 ⇔ r=cosθ-2
だから,
③ ⇔ r=cosθ+2 または r=0
なのですね.
①の図形に原点が加わった図形です.
よって,
① ⇔ r=cosθ+2
⇔ ③ かつ r≠0
⇔ (x^2+y^2-x)^2=4(x^2+y^2) かつ x^2+y^2≠0
⇔ (x^2+y^2-x)^2/(x^2+y^2)=4
です!
最後の式は,元と同じ図形を表しているのですね!
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