先日，ある動画をキッカケに考えていて，こんな公式を作っちゃいました！
どうでしょうか？
見たことはありますか？
もちろん，２Rを導く正弦定理を途中で使いますが，外接円とは関係ない量です．
実は，三角形ABCの垂心をHとすると，
AH＝a|cosA| / sinA
となるのです！！
外接円の直径に|cosA|をかけるだけ．
絶対値なのは，鈍角のときにcosAがマイナスになるから．
成り立ちを説明してみます．
まず，A，Bから対辺に向かって垂線AL，BKを引きます．
これらの交点が垂心Hです．
90°が見つかるから，4点C，K，H，Lは同一円周上です．
方べきの定理が使えて，
AH・AL＝AK・AC ・・・①
です．
また，直角三角形ABKに注目すると，
AK＝AB×|cosA| ・・・②
※角Aが直角や鈍角のこともあるので，注意！
です．
さらに，直角三角形ACLに注目すると
AL＝AC×sinC ・・・③
です．
①②③から
AH×AC×sinC＝AB×AC×|cosA|
∴ AH=AB×|cosA| / sinC ・・・④
です．
目標が
AH＝a|cosA| / sinA
なので，かなり近づいてきましたね！
あとは，AB / sinC が a / sinA と等しいことが分かればよいのですが・・・
これは，まさに，「正弦定理」ですね！！
AB / sinC＝a / sinA ・・・⑤
④⑤より，
AH＝a|cosA| / sinA
が成立！！
なんかけっこうシンプルな式だし，ちょっと嬉しいです！！
数学には，何年やっても（自分にとっての）新発見があって，やめられないです．
＊＊＊
以下，雑記．
きっとこの公式，誰かが以前に考えたことがあるものでしょう．
でも，自分にとっては新発見．
独力で見つけた公式には，その人にとっては特別な意味があります．
専門家の研究ではないのだから，過去に誰かが発見していようが，そんなことは関係ありません．
こういう喜びを生徒たちにも味わってもらいたいな，と思います．
それが探求の目指すところかな．
喜んで生徒が報告してくれたときに，「あぁ，それね，知っているよ」という反応をする先生はどうかと思いますね（笑）
先生が自分のすごさを生徒に伝えたいとしたら，そういう反応になりますが，生徒の成長をともに喜びたいなら・・・
この公式を知っていた人も，「知ってたよ」「しょうもな」とか思わないでくださいね．
「やっと吉田くんも私のところまで追いついてきたか．でも，まだまだだね」くらいにしておいてください（笑）
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