AP＝2BPを満たす点Pの軌跡は円になることが知られており，アポロニウスの円と呼ばれるものの１つです．
これを満たす点として，線分ABを2:1に内分する点，外分する点があって，これらを含む円になるはず．
しかも，これらが直径の両端になるのでした．
（内角・外角の二等分線の性質を使って示すことができます）
方程式の問題，ベクトル方程式の問題，複素方程式の問題，として登場します．
複素方程式|z－α|＝2|z－β|から円の複素方程式
|z－(中心)|＝(半径)
の形を作るには，両辺を二乗して，|z|^2＝z×(zの共役複素数)が成り立つことを利用することになります．
敢えてそれをせず，別ルートで攻めてみました．
ここで
w＝1/z
と表されるwは，
w＝(zの共役複素数)/|z|^2
となるから，
(zの反転)＝z/|z|^2
の共役複素数になっています．
zとwの対応関係は，反転（単位円を利用して内側と外側を入れ替える変換）とx軸に関する対称変換の合成です．
原点を通らない円を反転して得られる図形は，やはり円なのでした．
この辺は，「大学への数学・12月号」の私の記事を参照してください（宣伝）！
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【結論】
複素数は，変換の観点から見ると面白い！
