重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて，頭がおかしい人だと思われそうですが（笑）
定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって，感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います．
ということで，そんな例を紹介しています．
全体集合をＵとして，Ｕの要素に関する条件ｐを考えます．
条件ｐの真理集合Ｐとは
Ｐ＝{x∈Ｕ|ｘはｐを満たす}
です．真理集合Ｐ，Ｑが等しくなる条件ｐ，ｑは同値で
ｐ⇔ｑ
です．
Ｐ⊂Ｑのとき，ｐを満たすｘは必ずｑを満たすから，
ｐ⇒ｑ
が成り立ちます．
条件ｐは，条件ｑが成り立つための十分条件
条件ｑは，条件ｐが成り立つための必要条件
と言います．
“条件”について述べています．
“Ｕの要素ｘについての条件”とは，ｘにＵの要素を代入すると“命題”になるもの．
“命題”とは，真偽の決まる数学的な式や文のこと．
条件に真偽はありませんが，Ｕのすべての要素ｘで成り立つような条件もあります．
条件に“すべて”や“ある”を添えると命題になることがあります．
すべてのｘ∈Ｕについて，ｐが成り立つ
ｐが成り立つようなｘ∈Ｕがある
正しいか正しくないか，判断できるものになるから，命題になっています．
ｐ⇔ｑ
は，
すべてのｘ∈Ｕについて，「ｐならばｑ」が成り立つ
かつ
すべてのｘ∈Ｕについて，「ｑならばｐ」が成り立つ
という意味です．
それを見るのに，集合という概念を用いるとスッキリするのですね．
Ｐ⊂Ｑ かつ Ｑ⊂Ｐ
と言い換えられるからです．つまり，
Ｐ＝Ｑ
ということ．
これらの議論は，すべて，事前に設定した全体集合Ｕの中で行っています．
「Ｕの部分集合として」
が前提になっています！
Ｐ＝{x∈Ｕ|ｘはｐを満たす}
を見てください．
「Ｕの要素の中でｐを満たすものをすべて集めた集合」となっています．
３条件：x=0，x=1，x>0について，負の数全体の集合をＵとして考えると，真理集合が全部∅になるから，３つの条件は同値になります．
心情的には許しがたいですが（笑）
他には，例えば，
Ｕ＝｛ｘは実数|ｘ≦0｝
とすると，真理集合は順に
{0}，∅，∅
となり，{0}⊃∅ だから，
x=1 ⇔ x>0 ⇒ x=0
となってしまいます．
飽くまで，
0以下の実数ｘに関する条件として
ですよ！！
しかし気持ち悪いですね（笑）
論理的には正しいですが，心情的には受け入れがたくないですか？
※念のための補足※
命題として，0以下の数ｘについて
x=1 ⇔ x>0
x=1 ⇒ x=0
x>0 ⇒ x=0
が真であると言っているだけで，実際の数の性質について述べているものではありません！
