「二項定理」と言ってくれない人と一緒に・・・やっていたら導けた😆 何が面白いかと言うと，この方法と置き換えを経由して lim(x→∞)logx/x=0も導けるということです！つまり，xより発散速度が本質的に遅いもの（√xなど）によるlogxの評価が絶対に必要，という…

2/14発売予定の新刊がAmazonで予約可能になっていました． いつも以上に編集者と議論が白熱した力作でなかなかの出来と思います！ 数学Ⅲの関数・極限・微分・積分について，私の持ちネタを隠すことなく書く機会に恵まれました． 計算重視というイメージを覆…

10/20発売の「大学への数学・11月号」に私の書いた記事が載ります． いまやっている「超越数学ラボ＠お茶ゼミ√+渋谷校」の講座内容を紹介するものです． yoshidanobuo.hateblo.jp 本試の記事では宣伝色はNGなので，画期的なことかなと思っています． カオス…

授業しているとき，生徒の言うがままに解き進めていくと，写真の問題に行き着いた． 3x/(2+x^2)の最大値は？ 高２，文理両方の生徒が居る．理系は数Ⅲ既習で，数Ⅲで何でもやれるという万能感に浸る時期． 「文系がいるけども・・・」 と数Ⅲでやるかどうか．こ…

「有理数」と「有理数」の和は，必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は，必ず“無理数” しかし， “無理数”と“無理数”の和は，「有理数」であることも“無理数”であることも． 数直線上にある「有理数」と“無理数”．いずれも無数に存在するけれど，「有理数…

漸近線とは？ Wikipediaには 解析幾何学において、平面曲線の漸近線（ぜんきんせん、英: asymptote）とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と接しない直線のことである。通常の定義では、漸近線は曲線と無限回交わってもよい。 漸近線は存在…

この答案，どのように思われますか？ 満点をあげますか？ それとも，どこかに良くないところがありますか？あるとしたら，①～⑦のうちのどこでしょうか？＊＊＊＊＊＊＊＊実は，⑤がダメなんですが，理由は分かるでしょうか？また，どうすれば認められる答案に…

置換積分って，合成関数の微分を利用して公式を作って，それ以降は機械的に計算するだけのものになっていませんか？そんな方には次の写真を送ります． 区分求積が定積分（面積）の定義だと思っていませんか？実はそうではないのです．本当は，リーマン和とい…

楕円のことを，円を使って考えたい．誰もが考えることですが，１次変換が高校数学にない今，何かよい考え方はないものか？と考えたわけです． 【円と直線の２交点をつなぐ線分の中点の軌跡① ～直線が平行に動くとき～】 円の中心と線分の中点をつなぐ直線が…

極方程式 r=cosθ＋2 は何を表しているでしょうか？単なる x=rcosθ，y=rsinθ というパラメータ表示ですね．極座標のときはr≧0としますが，極方程式のときはr<0も許容します．θに偏角という図形的な意味があるのが面白いのです． θを消去すると，x,yの方程式に…

今日は１２／２５．世間ではクリスマスですが，私にとってはクリスMATHです（笑）クリスMATHプレゼントを用意していますので，お楽しみに．そうそう，共通テストが近づき，拙著の売れ行きが好調のようです．ありがとうございます．お持ちでない方は，こちら…

(★)は，確かに外接円を表しています． １）式の形から，円，直線，または，1点，または，∅ ２）ｚ＝α，β，γのとき(★)が成立 の２つから分かります．２）から，１）は円に決まり，３点を通る円は外接円しかないので，(★)は外接円を表す式であるしかありません…

問 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１辺の長さが１の正三角形ABCがある．三角形ABCの外接円の周上に点 P をとるとき， AP^2＋BP^2＋CP^2の値を求めよ． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊…

AP＝2BPを満たす点Pの軌跡は円になることが知られており，アポロニウスの円と呼ばれるものの１つです．これを満たす点として，線分ABを2:1に内分する点，外分する点があって，これらを含む円になるはず．しかも，これらが直径の両端になるのでした．（内角・…

極方程式の応用の回の授業． 何だかんだやっているうちに菊の花のようになる極方程式を，生徒と一緒に作ることに（笑） 皇室御用達の16葉の菊紋は，後鳥羽上皇が使い始めたとか． 御番鍛冶といって各月担当の刀鍛冶を選出して，一緒に刀を作っていた後鳥羽上…

やっと記事数が100になったので，記念に図形としての「100」を式で表してみました（笑） ABC＝0 ⇔ A＝0 または B＝0 または C＝0 で，３つの和集合． それぞれは， |x|+|x-1|=1 ⇔ 0≦x≦1 という性質を応用しています． 1つ目は， |A|+|B|=0 ⇔ A＝0 かつ B＝0 …

チェビシェフの多項式T_n(x)は， x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる のでした！漸化式を用いて数学的帰納法で証明しましたが，別の方法も考えてみましょう． ここで，複素数が再登場です！ T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 を別ルートから考えます…

ド・モアブルの定理と二項定理で，ｎ倍角の公式を作るのは，けっこう有名かも知れませんが，これから内容を発展させていくなかで触れておきたいな，ということで． (cosθ＋i sinθ)^2＝cos(2θ)＋i sin(2θ) と (cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ)^2＋2i sinθcosθ－(sinθ…

漸化式＆帰納法バージョン n倍角の公式を表す多項式（チェビシェフの多項式）の係数の秘密① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 漸化式を使って帰納法で示すのは，連鎖的な構造が分かって気持ちいいですが，「そのもの」…

接しているかどうかは，以前にも書いたように，接空間で理解すべきものです． 接するって，どういうこと？ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 単位円ではx=1，y=1が接線になることは疑いようのないことです． 上半円にy=…

∞シリーズはお楽しみいただけましたか？ ∞を１つの式で表してみた - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 今回は，∽のような曲線を１つの式で表す企画です．左は下半分，右は上半分（点線は気にしないでください）．各xに対…

真ん丸の眼鏡を最近買った私が，2円を合わせてできる∞を１つの式で表すという企画です．「∞は“眼鏡には無限の可能性がある”ことから作られた記号だよ」と説明すると，だいたいスゴイ空気になります（笑）さて，本題．あやしいのは，明らかに（１）です．複雑…

※本記事はあくまで私見です． これに反した記述を批判する意図はございません！ ①はダメだと思うんです．②のように書くと，ギリギリセーフかな？と思います． ③は教科書にある表現ですが，ちょっと気持ち悪い・・・③’が良いと思いませんか？ 収束するときは…

※下から２つ目の答え，１ではなく，２です．スミマセン・・・質問に答えるなら・・・論点を変更するのが一番楽ですね． でもそれだけで終わるともったいない！ 【回答例】＊＊＊＊＊ 収束するものの積は，極限値の積に収束する を使っているんじゃないんだ！…

重箱の隅が大好物（笑）今回も隅っこの方をつついていきます！ 極限とは？無限数列において，十分大きい番号nの項に限定して，その挙動を考えること．「十分大きい番号で常に●●が成り立つ」というのが極限の原則でした．“十分大きい”ももちろん大事ですが，…

ちょっと前の記事の続きです． イプシロンは卒業！ “攻め”の収束！ - yoshidanobuo’s diary 何かキッカケがあると，急に世界が開けることってありますね．数学をやる楽しみの１つです．常に嗅覚を敏感にしておきたいですね． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 数列{a_n}が…

逆数をとるので，怪しいのは，a_6＝0 になること． 最初から数が並んでいて，逆数をとったものの極限では，数列の項を「十分大きい n でのみ」考えるから，1 / a_6 が存在していなくても，1 / a_7 は存在しており，何事もなかったかのように極限を考えること…

シャワーを浴びているときに，急にピンときました（笑）ぜひこの感動をお伝えしたく，キーボードを叩いています． 数列{a_n}がαに収束するとき， lim (1・a_1＋2・a_2＋‥‥＋n・a_n)/(1＋2＋‥‥＋n) ＝αとなるそうです． どうやって示しましょうか？ 最初はイ…

今回も複素数の４つの観点 ① 実部・虚部の計算 ② 絶対値・共役の性質 ③ 極形式の利用 ④ 幾何的な考察 を思い出しておきます． ※z＝x + yiの共役複素数(x－yi)を，この記事では[z]と表すことにします． |[z]|＝|z|， arg[z]＝－arg z です．特に， 1 / z＝[z]…

なんか，収束ばかりやっていますね． 「収束は常に証明すべきだ！」 という意識が大事だと，私は思っています．だから，収束の証明にこだわるようにしています．とは言っても，「大人の定義」ベースで高校数学ではないのですけど・・・どうぞお付き合いくだ…