yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー

「大学への数学」執筆者・吉田信夫の数学探求ブログ(共通テスト系問題の研究報告)

数学Ⅰ

不等式の解の話の「最終回」

数学における認知の個人差・多様性というものについて考えました.真実は1つですが,それにみんなが到達しているのではなく,その途中にあるのだと思います.『2次不等式x^2-3x+2<0を解くと1

不等式の解の話の続き・・・

これの続きです ⇓ yoshidanobuo.hateblo.jp 「条件と範囲」 𝑙𝑜𝑔(𝑥-1)+𝑙𝑜𝑔(3-𝑥)の真数条件について,まず考えてみます. 『𝑙𝑜𝑔(𝑥-1)+𝑙𝑜𝑔(3-𝑥)が定義されるような実数𝑥の条件(𝑙𝑜𝑔を用いずに)』であれば,「𝑥>1かつ𝑥<3」でも「1<𝑥<3」でも良いように思います…

「1<x<2」が正解のときに「1<xかつx<2」と答えたら3点満点の何点?

最近,Twitterをやるようになりました. 『【2次不等式の基本的な計算問題】「1

「-1≦x≦1⇔x=sinθ(0≦θ<2π)」なのか?

こんな質問がありました.合わせて,色んな問題で「解」というものを考えるけれど,それって正確にはどういう意味?と. 何となくで数学をやっていると気にも留めないですが,ちゃんと知ろうとしたら躓くところです.だって,高校数学のブラックボックスに近…

三段論法  (A→B かつ A) ならば B

三段論法 (A→B かつ A) ならば Bのことを考えてみます.***「2=1ならば3は偶数である」は真.「2=1のとき,1ずつ加えて3=2であり,2が偶数だから,3も偶数である」という論理展開に問題がないから.一方で、「2=1ならば3は奇数である」は真. 「2=1…

大学への数学・11月号に記事が載ります

10/20発売の「大学への数学・11月号」に私の書いた記事が載ります. いまやっている「超越数学ラボ@お茶ゼミ√+渋谷校」の講座内容を紹介するものです. yoshidanobuo.hateblo.jp 本試の記事では宣伝色はNGなので,画期的なことかなと思っています. カオス…

「解」という,高校数学においてあいまいな言葉について

手書きですみません. 常にここまで考えて話したり書いたりはしていませんが,いざとなったらここまでやりたい,というものです.丁寧にやると,中高生の納得度は高いと思います.(計算が苦手な生徒でも,哲学的な話だから,意外と食いつきが良かったり)

前記事を認めると,「√4=±2」なのか?

前の記事の続きです. ±は罪深い表記だと,改めて思いました. 「実数xについての方程式x^2=1」とは, 「実数xを変数とする条件x^2=1」のことで,その解とは, 「変数xに代入して得られる命題が“真”になるもの」のこと.ただし,「解をすべて求めること」…

「|x|=±x」は常に成り立つ!?

この主張以外の受け付けない,という趣旨ではなく,±を雑に扱うと危険である,というのが趣旨です.言い切る口調で書きますが,広い心で読んでください. **** 「|x|って何?」と聞いたら「±x」と返ってくることがあります.関数としての|x|を扱っていて…

2022共通テスト・追試 数学ⅠA,数学ⅡBについての雑感

【共通テスト・追試の数学】問題がなかなか見れないという人も居ますが,こちらにありました. ありがとうございます. ⇓ www.minyu-net.com 【ⅡB】ⅡBはすごく良いと思う! 細かいツッコミどころはあるけれど,かなり定性的になっていると思います. 「ポア…

x=1は「xが1である」ということなのか?

場合によりますが,「xに1を代入したときにのみ真になる条件だ」という意味であって「xが1である」という主張ではないと考えることもできます.詳しく書いてみます(長い・・・). xについての2次方程式x^2+x-2=0を解くと x^2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 x=1,-2…

andでつなぐもの  ~「数」と「条件」と「集合」と~

数学における「and」には,2種類の訳「と」と「かつ」があります.x=1,2の“,”は「and」ですが,これは 「xとして適するのは1と2である」なんでしょうか?それとも, 「x=1かつx=2である」なんでしょうか?文脈的には前者なのですが,そのように空気を読…

「または」も色々

※ [ ]はガウス記号(中に書かれた実数の整数部分) (1)nが偶数のとき,n-2[n/2]=0だから,x+y=1nが奇数のとき,n-2[n/2]=1だから,x^2+y^2=1 表し得る図形は,円x^2+y^2=1と直線x+y=1です.場合により,「直線または円」です.文字定数nの偶奇により,「…

有理数と無理数の配置イメージ

「有理数」と「有理数」の和は,必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は,必ず“無理数” しかし, “無理数”と“無理数”の和は,「有理数」であることも“無理数”であることも. 数直線上にある「有理数」と“無理数”.いずれも無数に存在するけれど,「有理数…

新時代の数学の解法

統計が必須になる時代. 数表と仲良くなっておくことは大事ではないかと思います. また,GIGAスクール構想で1人1台端末. 問題解決にしっかり使えるように,思考してもらいたいなと思います. そんな時代になっても, 「両辺を2乗すると・・・」 という解…

「 ,」の乱用が,数学学習者の敵!?

数学の教科書には様々なカンマが登場します. 同じように見えて,異なる意味で使われています.もしかしたら,これが,数学を分かりにくくする原因の1つになっているのかも知れません.数学の先生は,過去の経験をもとに当たり前のようにカンマを使い分けま…

「そして」は,「かつ」なのか?「または」なのか?

実数xについて [1]x^2=1を解くと,x=1とx=-1 [2]x≧-1とx≦1を満たす条件は-1≦x≦1 [1]は,解の集合{-1,1}において,「要素は1と-1である」と言っています.解xについて x=-1 または x=-1が成り立つということです. [2]は,「x≧-1の範囲」と「x≦…

空集合 ∅ に関する考察

※本稿は,高校数学における空集合の扱いについて考察するものです. 公理的集合論については,考えません! n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)が常に意味をなすためには,要素の個数が0である集合が必要になる.そうして定義された空集合は,あらゆる集合の…

2次方程式の解の公式を,3次方程式で使ったら・・・?

色んな発想する人が居ますよね.例えば・・・ 3次方程式 x^3-7x+6=0 の解は (x-1)(x-2)(x+3)=0 と因数分解することで x=1,2,-3 と求まるのですが・・・ x*x^2-7x+6=0 と見て,2次方程式の解の公式を使ったらどうなりますか? という質問をされました(最初…

同一直線上にある条件が,AP=tABですか???

【やはり,⇔は嫌いだ!】 条件と条件を,軽々しく「⇒」や「⇔」でつなぎたくなる人,居ませんか?お願いです. 使う前に,ぜひ,一歩踏みとどまってください. 写真にはあのように書きましたが,本当は,明記された全体集合を優先して,「Pの条件」として捉…

円周率は3.15よりも大きいのか?

今回は小ネタです.数値に対する感覚は,今後の共通テストでも問われるでしょうし,世の中に出てからも役に立つ感覚になると思います.数字のマジックに騙されないようにしましょう! ところでご存じですか?三角比の表のsin 1゜の欄には,0. 0175とあります…

問題文によっては,想定外の解答を認めざるを得なくなる件

今回も重箱の隅をつついていきます(笑)もはやライフワークですね.さて,ほぼ同じ問題を4つ挙げています.いずれも,a=-1を答えるのがベストですが,a=1,-3という“誤答とされるもの”が正答と見なされ得るものがあります.良ければちょっと考えてみてくだ…

【入試問題紹介】 出題者の意図は,いったい・・・

【入試問題紹介】出題者の意図は,いったい・・・ 2021年の某大学の入試問題です. 問題文が分かりにくかった,と受験した生徒(合格!)に言われました.集合を使って書いたり,論理構造を問うようにすると,混乱してしまう人がかなり多くなると思います. …

場合分けって,色々ないですか?

「場合分け」のこと,実はあんまり分かっていないかも知れません.2つの場合分け,区別できていますか? 問.aを実数の定数とする.2次関数 f(x)=x^2-2ax の 0≦x≦1 における最小値を求めよ. 解.f(x)=(x-a)^2-a^2 だから・0≦a≦1 のとき,最小値はf(a)…

脱!解法主義 ~大学入学共通テストからのメッセージ~

普通は,平方完成して最大値を求め,因数分解して2次不等式を解くのですけど・・・共通テストでは,数字が大きくなってしまうのが厄介なんですよね. 定石的で汎用性の高い解法は,いつでもどこでも使えるけれど,個別の問題において最適な解法とは限らない…

どう解く?共通テスト・第2日程 数学Ⅰ・A How to Solve IA

1/31に行われた大学入学共通テスト・数学ⅠAです.中間発表での平均点が35点!驚きです.そんなに難しいのでしょうか?僕は47点くらいになると予想していて,第1日程の55.6点(中間発表)よりは低くなりそうと思っていましたが,ここまでとは.…

大学入学共通テスト・思考ベースでの詳解 ===数学Ⅰ・A===

※問題はお手元にあるという想定です!『総評と凡例』 計算の負担は軽減,読解の負担増,出題の意図を読み取って“論点を絞り込む”ことが重要.会話は,“無条件で使ってよい情報の提供”“重要なヒントの提示”にのみ使われ,「議論を深める」系は無かった.知識…

新発見!? 公式「a|cosA| / sinA」は何を求めるものでしょう?

先日,ある動画をキッカケに考えていて,こんな公式を作っちゃいました! どうでしょうか?見たことはありますか?もちろん,2Rを導く正弦定理を途中で使いますが,外接円とは関係ない量です.実は,三角形ABCの垂心をHとすると, AH=a|cosA| / sinAとなる…

x=0 ⇔ x=1 ⇔ x>0 ー0は1で,正の数は何でも0なのか??ー

重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて,頭がおかしい人だと思われそうですが(笑)定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって,感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います.ということで,そんな例を紹介しています. 全体集合をUとして…

偶数は4の倍数なのか? ー心情と数学ー

先日の記事 同値記号を使って証明を書く - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー ですが,Facebookで画像とちょっとのコメントだけ公開していました.インスタと同内容です. https://www.instagram.com/p/CIcZkaalsx0/ これに…