「二項定理」と言ってくれない人と一緒に・・・やっていたら導けた😆 何が面白いかと言うと，この方法と置き換えを経由して lim(x→∞)logx/x=0も導けるということです！つまり，xより発散速度が本質的に遅いもの（√xなど）によるlogxの評価が絶対に必要，という…

【共通テスト・追試の数学】問題がなかなか見れないという人も居ますが，こちらにありました． ありがとうございます． ⇓ www.minyu-net.com 【ⅡB】ⅡBはすごく良いと思う！ 細かいツッコミどころはあるけれど，かなり定性的になっていると思います． 「ポア…

授業しているとき，生徒の言うがままに解き進めていくと，写真の問題に行き着いた． 3x/(2+x^2)の最大値は？ 高２，文理両方の生徒が居る．理系は数Ⅲ既習で，数Ⅲで何でもやれるという万能感に浸る時期． 「文系がいるけども・・・」 と数Ⅲでやるかどうか．こ…

多項式の割り算と，接線の方程式と，数列の和が複雑に絡み合った，面白い関係です． マニア向け（笑） なんと！！ y=x^nの接線の方程式を利用して，等差×等比の和が求まるとは

2次関数のグラフCのｘ座標がa,bである2点A,Bをとります．A,BにおけるCの接線の交点Pは，x座標が(a+b)/2の点であることが知られています（接線の方程式を連立）．ちょうど真ん中で交わります．図の①：①です．また，直線ABと放物線Cで囲まれる部分の面積は，(b…

漸化式＆帰納法バージョン n倍角の公式を表す多項式（チェビシェフの多項式）の係数の秘密① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 漸化式を使って帰納法で示すのは，連鎖的な構造が分かって気持ちいいですが，「そのもの」…

接しているかどうかは，以前にも書いたように，接空間で理解すべきものです． 接するって，どういうこと？ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 単位円ではx=1，y=1が接線になることは疑いようのないことです． 上半円にy=…

何となく解けているだけになっている人，けっこう多いかも知れませんよ． では，行間をすべて細かく見ていくことにしましょう． まず，本問は，実数aについての条件： 「y＝x^2に(0, a)から２本の接線を引ける」‥‥（＊） を「aの範囲」に書きなおす問題です…

私が書くなら，次のようにします． 【解】(t,t^2)[ を接点とすると接線は ・ における接線は ] y＝2tx－t^2 …① (0,a)を通る[ 条件は ・ から ] a＝－t^2 …② ②が異なる２つの実数解をもつ[ 条件は ・ から ] a＜0 ■ ですね． ２本の接線が存在する条件は，接…

「～の条件を求めよ」というタイプの問題で， ～であるから，●●である． という書き方をしてある解答を目にすることがあります． ～であることが分かっているときに何かを考えたいなら，「～であるから」で良いでしょう．あるいは， ～ならば●● を示したいと…

４次関数で平方完成して， (２次式)^2＋(１次式) という形にできることを紹介しました．その際，最後に残る１次式は， y＝(１次式) という直線を作ると，４次関数のグラフに２点で接する接線になるのでした．ただし，(２次式)＝０が異なる２つの実数解をもつ…

先日は，失礼しました．接線と見せかけて，実は接していないという・・・ 今回は，解と係数の関係ではなく，平方完成で y＝(x－α)^2×(x－β)^2+px+q の形を作ってみました． 幸い，αとβを解にもつ２次方程式で，判別式は正になるようです．ということは・・・…

例えば，y＝x^2-3x+1において，-3x+1の部分を取り出した直線 y=-3x+1 は，どんな直線でしょう？ y＝x^2-3x+1と連立すると x^2-3x+1＝-3x+1 という２次方程式が得られ，これは x^2＝0 ∴ x＝0（重解） です．図形的には，どういう意味でしょう？ そう，x＝0で…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，３次関数になっても解けるでしょうか？ 同じようなセリフを何回も書いてますな（笑） 今回は，関数を合成してみました．初見だと，ちょっと戸惑わないですか？ 正解は，【a＞0，b…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，３次関数になっても解けるでしょうか？ 前回も同じようなセリフを書いたような（笑）「漸近線に注目したら，d もすぐに分かる」という別解をいただき，悔しいので同じような問題で…

唐突ながら， “極限”＋“不等式”＝“ハサミウチ” ですね！ さて，もともと，「式だけで漸近線を求める」という課題でしたから， 「図より，漸近線は 3x＋3y＋1＝0 である」 というのは，今回は避けることにします． ちなみに，k の範囲は １）曲線の式に，x＋y…

図を見ると漸近線は存在しそうですが，式だけで考えるとなるとなかなか大変です．任意にｘを固定すると，ｙは必ず実数として（少なくとも）１つ存在することは分かります．y＝f(x)という形で表された曲線で漸近線を考えることはありますが，F(x，y)＝0 表示…

赤いグラフを表す関数は，高校数学の根幹を揺るがすような危険なグラフです．ちょっと説明してみます．その前に，右下にある青い方のグラフ．僕の好きなもので，関数 f ( x )＝x sin ( 1/x ) ( x ≠ 0 ) ， f ( 0 )＝0 のグラフです．x＝0 の周辺で無限に激し…

図の２つは「x=0で極小値-1」と言ってよいのでしょうか？ 判断に困ったら定義を参照します！ あるx=aでの値f(a)が極小値であるとは・・・ ①aを内部に含むある区間において「f(a)＜f(x)」が成り立つことをいう． ②f(x)がx=aの前後で，「減少から増加に転じる…

私の答えは，①のみ△，②③は×です． ②③のような文を見かけることがあって，それがダメな理由を如何に説明できるか，と考えました． ＜①②③の主張の根拠＞ １）この関数は，x=0,-1,1でy=0という値を“とる”ことが分かります． ２）x=-1で極大値0，x=1で極小値0で…