集合と命題
数学における認知の個人差・多様性というものについて考えました．真実は１つですが，それにみんなが到達しているのではなく，その途中にあるのだと思います．『２次不等式x^2-3x+2<0を解くと1
これの続きです ⇓ yoshidanobuo.hateblo.jp 「条件と範囲」 𝑙𝑜𝑔(𝑥-1)+𝑙𝑜𝑔(3-𝑥)の真数条件について，まず考えてみます． 『𝑙𝑜𝑔(𝑥-1)+𝑙𝑜𝑔(3-𝑥)が定義されるような実数𝑥の条件（𝑙𝑜𝑔を用いずに）』であれば，「𝑥>1かつ𝑥<3」でも「1<𝑥<3」でも良いように思います…
最近，Twitterをやるようになりました． 『【2次不等式の基本的な計算問題】「1
「2023共通テスト 数学ⅡＢ」の問題で，少し考察． もしや，出題ミス！？ 第１問[２]の一部です． ＊＊＊＊ log_2(3)が有理数であると仮定すると，log_2(3)>0であるので，二つの自然数p,qを用いてlog_2(3)=p/qと表すことができる．このとき，(1)によりlog_2(3…
こんな質問がありました．合わせて，色んな問題で「解」というものを考えるけれど，それって正確にはどういう意味？と． 何となくで数学をやっていると気にも留めないですが，ちゃんと知ろうとしたら躓くところです．だって，高校数学のブラックボックスに近…
三段論法 （A→B かつ A) ならば Bのことを考えてみます．＊＊＊「2=1ならば３は偶数である」は真．「2=1のとき，1ずつ加えて3=2であり，２が偶数だから，３も偶数である」という論理展開に問題がないから．一方で、「2=1ならば３は奇数である」は真． 「2=1…
手書きですみません． 常にここまで考えて話したり書いたりはしていませんが，いざとなったらここまでやりたい，というものです．丁寧にやると，中高生の納得度は高いと思います．（計算が苦手な生徒でも，哲学的な話だから，意外と食いつきが良かったり）
前の記事の続きです． ±は罪深い表記だと，改めて思いました． 「実数xについての方程式x^2＝1」とは， 「実数xを変数とする条件x^2＝1」のことで，その解とは， 「変数xに代入して得られる命題が“真”になるもの」のこと．ただし，「解をすべて求めること」…
この主張以外の受け付けない，という趣旨ではなく，±を雑に扱うと危険である，というのが趣旨です．言い切る口調で書きますが，広い心で読んでください． ＊＊＊＊ 「|x|って何？」と聞いたら「±x」と返ってくることがあります．関数としての|x|を扱っていて…
場合によりますが，「xに1を代入したときにのみ真になる条件だ」という意味であって「xが１である」という主張ではないと考えることもできます．詳しく書いてみます（長い・・・）． xについての２次方程式x^2+x-2=0を解くと x^2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 x=1,-2…
数学における「and」には，２種類の訳「と」と「かつ」があります．x＝1,2の“，”は「and」ですが，これは 「xとして適するのは1と2である」なんでしょうか？それとも， 「x＝1かつx＝2である」なんでしょうか？文脈的には前者なのですが，そのように空気を読…
※ [ ]はガウス記号（中に書かれた実数の整数部分） （１）nが偶数のとき，n-2[n/2]=0だから，x+y=1nが奇数のとき，n-2[n/2]=1だから，x^2+y^2=1 表し得る図形は，円x^2+y^2=1と直線x+y=1です．場合により，「直線または円」です．文字定数nの偶奇により，「…
「有理数」と「有理数」の和は，必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は，必ず“無理数” しかし， “無理数”と“無理数”の和は，「有理数」であることも“無理数”であることも． 数直線上にある「有理数」と“無理数”．いずれも無数に存在するけれど，「有理数…
置き換えたら２次式になるタイプだ．範囲をしっかり考えよ！置き換えたものが２次方程式でも２次関数でも，ほとんど同じだ！ ってやってしまうのですけど・・・ むっちゃ細かく見たら，ぜんぜん違う問題なのではないか？※こうやって解くべきだ，と言いたいの…
実数xについて [1]x^2＝1を解くと，x＝1とx＝－1 [2]x≧－1とx≦1を満たす条件は－1≦x≦1 [1]は，解の集合{－1，1}において，「要素は1と－1である」と言っています．解xについて x＝－1 または x＝－1が成り立つということです． [2]は，「x≧－1の範囲」と「x≦…
※本稿は，高校数学における空集合の扱いについて考察するものです． 公理的集合論については，考えません！ n(Ａ∪Ｂ)＝n(Ａ)＋n(Ｂ)－n(Ａ∩Ｂ)が常に意味をなすためには，要素の個数が０である集合が必要になる．そうして定義された空集合は，あらゆる集合の…
【やはり，⇔は嫌いだ！】 条件と条件を，軽々しく「⇒」や「⇔」でつなぎたくなる人，居ませんか？お願いです． 使う前に，ぜひ，一歩踏みとどまってください． 写真にはあのように書きましたが，本当は，明記された全体集合を優先して，「Ｐの条件」として捉…
今回も重箱の隅をつついていきます（笑）もはやライフワークですね．さて，ほぼ同じ問題を４つ挙げています．いずれも，a=-1を答えるのがベストですが，a=1,-3という“誤答とされるもの”が正答と見なされ得るものがあります．良ければちょっと考えてみてくだ…
【入試問題紹介】出題者の意図は，いったい・・・ 2021年の某大学の入試問題です． 問題文が分かりにくかった，と受験した生徒（合格！）に言われました．集合を使って書いたり，論理構造を問うようにすると，混乱してしまう人がかなり多くなると思います． …
「場合分け」のこと，実はあんまり分かっていないかも知れません．２つの場合分け，区別できていますか？ 問．aを実数の定数とする．2次関数 f(x)＝x^2－2ax の 0≦x≦1 における最小値を求めよ． 解．f(x)＝(x－a)^2－a^2 だから・0≦a≦1 のとき，最小値はf(a)…
１／３１に行われた大学入学共通テスト・数学ⅠＡです．中間発表での平均点が３５点！驚きです．そんなに難しいのでしょうか？僕は４７点くらいになると予想していて，第１日程の５５．６点（中間発表）よりは低くなりそうと思っていましたが，ここまでとは．…
重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて，頭がおかしい人だと思われそうですが（笑）定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって，感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います．ということで，そんな例を紹介しています． 全体集合をＵとして…
先日の記事 同値記号を使って証明を書く - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー ですが，Facebookで画像とちょっとのコメントだけ公開していました．インスタと同内容です． https://www.instagram.com/p/CIcZkaalsx0/ これに…
以前は同値記号⇔をよく使っていました．学生の頃は一切使っておらずでしたが，この仕事について初めて使うようになりました． 何も考えずに使っている時期もありましたが，よくなかったなぁ，と反省しています．当時は，条件と命題の違いも言語化できていな…
悪ノリが止まりません（笑） y＝x^2 (0＜x≦1) を |y-x^2|+||x|/x-1|+||x-1|＋x-1|＝0 と表しました．なかなか素敵と自画自賛しています． 色んな図形を１つの方程式で表す快感① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 色んな…
偽なのは， ２が偶数ならば，２は奇数である の１つだけ！ 何ででしょう？ 高校数学では扱わない部分ですが，踏み込んでみましょう！ いきなり結論ですが ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 命題ｐ，ｑについて，「ｐ→ｑ」が“真”になるのは ｐ，ｑがともに“真” また…
２重線の「⇒」は，「命題」を作る記号．１重線の「→」は，高校教科書には登場しないですが，前後に「命題」や「条件」と伴って「ならば」を表すものです． この点をちょっと説明します． 適当な集合Aを全体集合として，「条件」の p(x)→q(x) （p(x)ならばq(x…
条件 p(x) は，x に代入するごとに命題（真偽が決まる）になるものでしたね． 命題p(0)は真，命題p(π)は偽 という具合に． p(x)→q(x) は，x に何か代入しないと真偽が決まらないので，「条件」． 任意の x について「p(x)→q(x)」 とすると，「命題」になるの…
探求モードに入ってしまいました（笑）logを使って，「定義されるされない」と「真偽」について，考えてみようと思います． (1)は，前に書いた通りです． ☟真・偽は必ず判定できるとは限らない！ - yoshidanobuo’s diary私は「命題でない」が正解だろうと思…
「私はカッコイイ」 は真か偽か？私は「真」だと思っているが，「偽」だという人が存在しないとは言い切れない．きっと居ないだろうが，それを証明できないので，判断できない．もう少し正確に言っておこう． すべての人は，「私のことをカッコイイ」と思う …
