「有理数」と「有理数」の和は，必ず「有理数」
「有理数」と“無理数”の和は，必ず“無理数”
しかし，
“無理数”と“無理数”の和は，「有理数」であることも“無理数”であることも．
数直線上にある「有理数」と“無理数”．
いずれも無数に存在するけれど，「有理数」は「順に数えることが可能な無限個」しかなく，“無理数”は“どうやっても順に数えられないくらい濃い無限個”もある．
「有理数」を「黒」，“無理数”を“赤”で描くと，数直線は真っ赤になるけれど，実は，無数の黒が点在している．
濃度の比は０：∞．
詳細は，「集合の濃度」というもの．
次の拙著でも扱っているので，もしご存じでなく，興味があれば，どうぞ．
それを強調して，「有理数」が飛び飛びに点在する感じに書いてみました．
最初に挙げた性質の意味は？
何らかの「有理数」のところから右の数直線を見るとき，そこから「有理数」分だけ離れたところに「有理数」がある．
だから，どの「有理数」から眺めても，同じ景色が見える．
一方で，“無理数”のところから右の数直線を見るとき，そこから「有理数」分だけ離れたところには必ず“無理数”があるが，“無理数”だけ離れたところにあるのは「有理数」か“無理数”か分からない！
（上の図では，この辺が不正確・・・申し訳ないです）
つまり，各“無理数”ごとに，そこから眺めた数直線の景色は異なっている！
関連する話として・・・
異なる２つの「有理数」の間には，「有理数」も“無理数”も存在します．
例えば，有理数p，qについて，(p+q)/2は２つの間に入る「有理数」ですし，p＋(p+q)/eは間に入る“無理数”です．
（eは自然対数の底2.71……）
では，異なる２つの“無理数”の間には，「有理数」も“無理数”も存在しますか？
区間内すべてが「有理数」であったら，集合の濃度としておかしい．
よって，“無理数”はある！
区間内がすべて“無理数”である可能性は？
集合の濃度的には問題ないけれど・・・
実は，各“無理数”は，何らかの「有理数」の数列の極限です．
例えば，√2は
1,1,4,1.41,1.414,……
という数列の極限です．
2,1.5,1.42,1.415,……
という数列の極限でもあります．
√2のどれだけ近くにも「有理数」が存在します．
大きいものも小さいものも．
同じように，どんな“無理数”でも，どれだけ近くにも「有理数」が存在します．
だから，「有理数」もある！
“無理数”は面白い！！
※拙著の一覧もぜひご覧ください．
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