2次関数のグラフCのｘ座標がa,bである2点A,Bをとります．A,BにおけるCの接線の交点Pは，x座標が(a+b)/2の点であることが知られています（接線の方程式を連立）．ちょうど真ん中で交わります．図の①：①です．また，直線ABと放物線Cで囲まれる部分の面積は，(b…

方程式１つで領域を表すシリーズも，ここまで来てしまいました（笑） |x-1|+|x-2|=1が1≦x≦2を表すことは何度も紹介しました．右辺は，2-1の1です．これを応用しまくると， |y-f(x)|+|y-g(x)|=f(x)-g(x)に自然に到達しますね（ぼくだけ？）． f(x)≦y≦g(x)とい…

極方程式の応用の回の授業． 何だかんだやっているうちに菊の花のようになる極方程式を，生徒と一緒に作ることに（笑） 皇室御用達の16葉の菊紋は，後鳥羽上皇が使い始めたとか． 御番鍛冶といって各月担当の刀鍛冶を選出して，一緒に刀を作っていた後鳥羽上…

先日，図形としての「100」を１つの方程式で表しました． 100記事目なので，100を表す方程式！ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー そこで使った考え方を応用したら，１つの方程式でこんな図が描けるのですね． |A-1|+|A-…

やっと記事数が100になったので，記念に図形としての「100」を式で表してみました（笑） ABC＝0 ⇔ A＝0 または B＝0 または C＝0 で，３つの和集合． それぞれは， |x|+|x-1|=1 ⇔ 0≦x≦1 という性質を応用しています． 1つ目は， |A|+|B|=0 ⇔ A＝0 かつ B＝0 …

三角比を使って解いてはみましたが，これでは全然，面白くない！ということで，初等編！ ２つの直角三角形ABEとBCFが合同なので，求める面積は，三角形ABGの面積と等しいです．鋭角の１つが15°で斜辺の長さが６の直角三角形です．これを２つくっつけると・・…

「最小値≧6となるaの条件」を考えるのだから，aは“未知数”の扱いで，1),2),3)は“最終的”には『範囲の分割』になります．しかし，最小値を求める段階（xを消去するとき）には，aを“文字定数”として扱い，1),2),3)は“いったん”は『答えの分類』になっています…

また変な式を作ってしまいました（笑）どうやって作ったかをお話します． a＜0においては，2a^2+1 0≦a≦1においては，2a^2+1 - a^2 a＞1においては，2a^2+1 - a^2 + (a-1)^2 となっていることに注目しました． ということで， a＜0においては，0 a≧0において…

「～のとき」と分けて解くことを，何でも「場合分け」と呼んでしまいますが，実は色々ありますよね．その違いを意識していないと，思わぬところでミスをしてしまう可能性があるのではないかと思います．授業していて，「分かっていないのかな？」と思う節が…

悪ノリが止まりません（笑） y＝x^2 (0＜x≦1) を |y-x^2|+||x|/x-1|+||x-1|＋x-1|＝0 と表しました．なかなか素敵と自画自賛しています． 色んな図形を１つの方程式で表す快感① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 色んな…

私の十八番，悪ノリです． y=x^2（0≦x≦1)を１つの方程式で表そう！ １）√を利用して y＝x－(√{x(1-x)})^2 →ルートを2乗するとx(1-x)になるので，y=x^2と同じ式． でも，ルートが定義されるｘしか考えられないので，0≦x≦1です！ ちょっとズルい？ ２）絶対値…

今回は，複素数平面で，変換，特に反転などについて書きました． 「極」をキーワードに，いくつかのネタを組み合わせています． お楽しみに． 定期購読されていない方は，ぜひ，こちらから． 👇

y=x^2（x≧0)を表すのに， １）「0以上」が定義域・値域になる√を利用して x＝√y ２）「0以上」だけで成り立つ|x|=xを利用して |y-x^2|+||x|-x|＝0を紹介しました。． ２）では，| |≧0だから， y-x^2＝0 かつ |x|-x＝0 つまり y＝x^2 かつ |x|＝x としていま…

チェビシェフシリーズ，最終章です！ 角度が整数で，コサインが有理数になるのって，どんなとき？なかなか深いテーマです．これを扱うために，何回もチェビシェフの多項式について述べてきました．集大成！ ［結論］0°～180°では，コサインが有理数になる整…

6倍角の公式の元になるチェビシェフの多項式は T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 でした．つまり， cos(6θ)＝32(cosθ)^6－48(cosθ)^4＋18(cosθ)^2－1 となるわけです．2倍することで 2cos(6θ)＝(2cosθ)^6－6(2cosθ)^4＋9(2cosθ)^2－2 となり，ちょっと嬉しい…

チェビシェフの多項式T_n(x)は， x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる のでした！漸化式を用いて数学的帰納法で証明しましたが，別の方法も考えてみましょう． ここで，複素数が再登場です！ T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 を別ルートから考えます…

チェビシェフの多項式T_n(x)は，２次以上の部分は，すべて係数が偶数になっているのですね！ただし，ここに書かれているのはｎ≦６だけですから，ｎ≧７でもそうなっているのかは分からない！この法則は，本当にずっと続くのでしょうか？ さて，以下，T_n(x)を…

ド・モアブルの定理と二項定理で，ｎ倍角の公式を作るのは，けっこう有名かも知れませんが，これから内容を発展させていくなかで触れておきたいな，ということで． (cosθ＋i sinθ)^2＝cos(2θ)＋i sin(2θ) と (cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ)^2＋2i sinθcosθ－(sinθ…

漸化式＆帰納法バージョン n倍角の公式を表す多項式（チェビシェフの多項式）の係数の秘密① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 漸化式を使って帰納法で示すのは，連鎖的な構造が分かって気持ちいいですが，「そのもの」…

チェビシェフの多項式は，グラフがピタッとしているから，気持ちいいですね．TはチェビシェフのTかと思いきや，Chebyshevがチェビシェフなので，違うんですね．三角多項式ともいうようなので，trigonometric polynomialのTかも知れません． poly＝多 ですね…

自然数は無数に存在します． 1,2,3,4,5,…… 自然数は序数（順番を表す数）としても使われて，数列を作るのに使われます． a_1=1, a_2=3, a_3=5, a_4=7,…… これは正の奇数を並べた数列です． 1,3,5,7,…… は無限個あるのですが，上のように１つの数列として表現…

この計算を見て何を思いますか？ ｎ倍角の分母は 5^n っぽいですね！これは正しそうですか？ 加法定理を使えば，数学的帰納法で示せそうです．ですが， 既約分数としての分母が 5^n になるのか？ というのは易しくないように思います．いかがでしょうか？ 実…

「数学は情緒」 分かったようで分かっていないような・・・ぼーっとずーっと考えていたら，きっと，よく分からないけど，ぱーっと全体が何となーく分かるのでしょう．本シリーズの最後として，学び・理解・教育について書かれているところをまとめてみようと…