ド・モアブルの定理と二項定理で，ｎ倍角の公式を作るのは，けっこう有名かも知れませんが，これから内容を発展させていくなかで触れておきたいな，ということで．
(cosθ＋i sinθ)^2＝cos(2θ)＋i sin(2θ)
と
(cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ)^2＋2i sinθcosθ－(sinθ)^2
において，実部は等しいから
cos(2θ)＝(cosθ)^2－(sinθ)^2
です．(cosθ)^2＋(sinθ)^2＝1を利用してcosθだけの式にすると
cos(2θ)＝(cosθ)^2－{1－(cosθ)^2}＝2(cosθ)^2－1
となることが分かります．だから，
T_2(x)＝2x^2－1
とおくと，
T_2(cosθ)＝cos(2θ)
となるのです．
同じことを６乗でやってみると・・・
まず，ド・モアブルの定理は
(cosθ＋i sinθ)^6＝cos(6θ)＋i sin(6θ)
で，二項定理は・・・
パスカルの三角形
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
から係数が分かって，
(cosθ＋i sinθ)^6
＝(cosθ)^6＋6i(sinθ)(cosθ)^5－15(sinθ)^2(cosθ)^4
－20i(sinθ)^3(cosθ)^3＋15(sinθ)^4(cosθ)^2
＋6i(sinθ)^5(cosθ)－(sinθ)^6
です．実部を比較し，(cosθ)^2＋(sinθ)^2＝1を用いると
cos(6θ)
＝(cosθ)^6－15{1－(cosθ)^2}(cosθ)^4
＋15{1－(cosθ)^2}^2(cosθ)^2－{1－(cosθ)^2}^3
＝32(cosθ)^6－48(cosθ)^4＋18(cosθ)^2－1
となるのです．
よって，
T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1
です．
今回は，漸化式を使わなくても，このような方法でｎ倍角の公式を導ける，という話でした．
複素数との別の関係性も，また後日，お見せしますね！
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