「最小値≧6となるaの条件」を考えるのだから，aは“未知数”の扱いで，1),2),3)は“最終的”には『範囲の分割』になります．
しかし，最小値を求める段階（xを消去するとき）には，aを“文字定数”として扱い，1),2),3)は“いったん”は『答えの分類』になっています．
※「場合分け」についてはこちらもご覧ください！
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場合分けにも色々とありますね - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
これを１つにまとめて書くと，解答は分かりにくくなるのではないか，という気がしています．
そのために，複数種類の「場合分け」つまり，「文字定数による答えの分類」と「未知数，変数の範囲の分割」を混同してしまうのではないか，と．
まとめて書くと，こんな感じでしょうか．
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１）0≦a≦1においては，最小値はa^2＋１で，条件は
a^2＋１≧6 かつ 0≦a≦1
これを両立するaは存在しない．
２）a＜0においては，最小値は2a^2＋１で，条件は
2a^2＋１≧6 かつ a＜0
前者はa≦-√(5/2)，√(5/2)≦aであるから，両立するaはa≦-√(5/2)．
３）a＞1においては，最小値は2a^2＋１で，条件は
2a^2-2a+2≧6 かつ a＞1
前者はa≦-1，2≦aであるから，両立するaは2≦a．
１）または２）または３）から，求める条件は
a≦-√(5/2) または 2≦a
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このように書くと分かりやすいのかどうかは，何とも言えませんが，やっていることを明示できているかなとは思います．
「最小値の分類」と「範囲の分割」を１つにまとめるのが一般的な書き方で，それを僕なりに書き換えたのが上の解答ですが・・・
「最小値の分類」と「範囲の分割」を分けて２部構成にするのが良いのではないかな，と思ったりしています．
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