(★)は，確かに外接円を表しています．
１）式の形から，円，直線，または，1点，または，∅
２）ｚ＝α，β，γのとき(★)が成立
の２つから分かります．
２）から，１）は円に決まり，３点を通る円は外接円しかないので，(★)は外接円を表す式であるしかありません！
さて，どうやって作ったか，少し説明してみます．
まず，ベクトルと複素数の対比から．
ベクトルでは，図形的な量は内積を使って捉えます．
内積は余弦定理が元になっているので，そこで考える角度には「向き」がありません．
角度も長さも面積も，すべて内積で捉えられるのが良いところ．
一方，複素数では，絶対値と偏角で捉えていきます．
２つを分断して捉えることになるから，細かく見ることが可能と言えます．
角度に「向き」を付けることができたり．
また，それらを統一するときには，共役複素数を利用することができます．
(a+bi)*(c-di)
＝(ac+bd) + (bc-ad)i
という計算をすると，実部が内積で虚部が符号付面積になります．
{z * (wの共役)＋(zの共役) * w }/2
|z * (wの共役)－(zの共役) * w }/2
が順に内積と面積（平行四辺形の）になります．
(★)は共役複素数が入った形になっているので，この辺りが作成の鍵になるはずです．
ここからが本題です．
４点が同一円周上にある条件には，円周角が等しい，があります．
３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円周上に点Ｐがある条件は
Ａを含む弧ＢＣ上 … ∠ＢＡＣ＝∠ＢＰＣ（向きも等しい）
Ａを含まない弧上 … ∠ＢＡＣ＋∠ＣＰＢ＝±180°（向きも込めて）
前者は
∠ＢＡＣ＋∠ＣＰＢ＝0°（向きも込めて）
と言えるから，まとめることができます．
複素数で角を表示すると，向きを込めたことになるという「高校数学」のローカルルールがありますから，
∠βαγ＋∠γｚβ＝180°×(整数) ……💛
となることが条件になります．
∠βαγ＝arg{(γ－α)/(β－α)}
∠γｚβ＝arg{(β－ｚ)/(γ－ｚ)}
であり，
∠βαγ＋∠γｚβ＝arg{{(γ－α)/(β－α)}*{(β－ｚ)/(γ－ｚ)}}
となります．
だから，💛は
{(γ－α)/(β－α)}*{(β－ｚ)/(γ－ｚ)}が実数
と言い換えられます．
ということで，Ｐが円周上にあるための条件は
{(γ－α)/(β－α)}*{(β－ｚ)/(γ－ｚ)}が実数 ……💛
または
ｚ＝β，γ
で，💛は
{(γ－α)/(β－α)}*{(β－ｚ)/(γ－ｚ)}
＝（{(γ－α)/(β－α)}*{(β－ｚ)/(γ－ｚ)}の共役複素数）
と書き換えられて，分母を払うと★になるのです！
実はあまり工夫せずに作った式でした．
また機会があれば，３点を通るように設定して作った「外接円の複素方程式」も紹介してみようと思います．
お楽しみに．
※外接円シリーズはこちら
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円だと分かっているので・・・ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
新発見！？ 「“三角形の外接円”のベクトル方程式」を求める公式 - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
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