|x|≦1かつ|y|≦1かつ|z|≦1 と書けば立方体を表すわけですが，ぜんぜん楽しくないですね．例えば， |x-1|+|x+1|=2 ……① は，-1≦x≦1を表す（後述）のですから，これを利用してしまえばよいのです． {|x-1|+|x+1|-2}^2+{|y-1|+|y+1|-2}^2+{|z-1|+|z+1|-2}^2=0 は…

共通テスト数学対策「重要問題演習」。多くの学校で採用いただき、感謝です。 かなりバージョンアップしまして、定性的な見方もより身に付くようになっていると思います。 これが、受験数学を通じて身に付けてもらいたい「生きていくための力」だと考えてい…

この本，高校数学で統計を教えるための基礎固めとして，とても良いです！ （有名な東大の本や私の本よりも断然よいです！） 知りたい証明や有用な例題がテンコ盛りです．ちゃんと「数学」なのが良いと思います．例えば，連続型確率分布での「和の期待値」の…

場合によりますが，「xに1を代入したときにのみ真になる条件だ」という意味であって「xが１である」という主張ではないと考えることもできます．詳しく書いてみます（長い・・・）． xについての２次方程式x^2+x-2=0を解くと x^2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 x=1,-2…

数学における「and」には，２種類の訳「と」と「かつ」があります．x＝1,2の“，”は「and」ですが，これは 「xとして適するのは1と2である」なんでしょうか？それとも， 「x＝1かつx＝2である」なんでしょうか？文脈的には前者なのですが，そのように空気を読…

【-12の１の位の数は？】 【-1.2の小数第一位の数は？】 ① ２である ② －２である ③ ８である ④ 定義されない たぶん，このどれかです． どれなんでしょう？ こんなことばかり考えています． 「生徒を混乱させてしまうだけ！」と不快に思われる方もいらっし…

👆これが載っているので，よければご覧ください．二項係数を通じての東大と灘中のマリアージュです（笑） 誌面の都合でカットした部分を以下に紹介しますので，合わせてどうぞ． 雑誌はこちらからどうぞ． 👇

「だって，７の目は無いじゃん」を認めたら楽になりますよ，という話です．（真面目な補足も最後に追記しておきます） 『１～６までの目が等確率で出るサイコロを振るとき，７の目が出る確率は？ ① ０ ② 定義されないどっち派ですか？』 数学の先生の多くの…

※修正版です． もっとシンプルにしたいのですけど，なかなか・・・ これを考えていて，今日のある予定に遅刻した（笑） まず分母は，単位円の外（x^2+y^2＞1）に図が来ないようにするためのものです．外では 0＜1/(x^2+y^2)＜1 ∴ [1/(x^2+y^2)]=0 です．これ…

こう書くと，勉強ができない高校生を上から目線で論じていくのかな，と思われるかも知れません．そういうのではなく，とってもよくできる高校生でも，1＋2＝3が含む色んな解釈を考えたことが無い，という話です． 高校生に話したこと． 「1＋2と3は等しい」…

※ [ ]はガウス記号（中に書かれた実数の整数部分） （１）nが偶数のとき，n-2[n/2]=0だから，x+y=1nが奇数のとき，n-2[n/2]=1だから，x^2+y^2=1 表し得る図形は，円x^2+y^2=1と直線x+y=1です．場合により，「直線または円」です．文字定数nの偶奇により，「…

多項式の割り算と，接線の方程式と，数列の和が複雑に絡み合った，面白い関係です． マニア向け（笑） なんと！！ y=x^nの接線の方程式を利用して，等差×等比の和が求まるとは

「有理数」と「有理数」の和は，必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は，必ず“無理数” しかし， “無理数”と“無理数”の和は，「有理数」であることも“無理数”であることも． 数直線上にある「有理数」と“無理数”．いずれも無数に存在するけれど，「有理数…

置き換えたら２次式になるタイプだ．範囲をしっかり考えよ！置き換えたものが２次方程式でも２次関数でも，ほとんど同じだ！ ってやってしまうのですけど・・・ むっちゃ細かく見たら，ぜんぜん違う問題なのではないか？※こうやって解くべきだ，と言いたいの…

統計が必須になる時代． 数表と仲良くなっておくことは大事ではないかと思います． また，GIGAスクール構想で1人1台端末． 問題解決にしっかり使えるように，思考してもらいたいなと思います． そんな時代になっても， 「両辺を２乗すると・・・」 という解…

クラインの壺ってご存じでしょうか？ 時間を自由に行き来できる「輪っか」を，あなたは持っているとします．その輪っか（円）を過去に向かって投げてみます．その円はブーメランのように旋回して，過去から現在に戻ってきます．投げ出したところで円をキャッ…

甲陽学院中学の算数の入試問題です．（イラストはイメージです．「いらすとや」さんのイラストがかわいい（笑）） 文字をたくさん使って強引にやれば良い！と思っても，そう簡単にはいかない！ 条件の１つが不等式というのが厄介です． つまり，文字で置いて…

教科書の漸化式に関する部分に，次のような記述があります． 【漸化式がa_(n+1)=a_n+(nの式)の形のとき，階差数列を利用する方法で，一般項が求められることがある．】 何とも意味深な書き方です． 求められることがある． では，求められないこともあるのか…

数学の教科書には様々なカンマが登場します． 同じように見えて，異なる意味で使われています．もしかしたら，これが，数学を分かりにくくする原因の１つになっているのかも知れません．数学の先生は，過去の経験をもとに当たり前のようにカンマを使い分けま…

実数xについて [1]x^2＝1を解くと，x＝1とx＝－1 [2]x≧－1とx≦1を満たす条件は－1≦x≦1 [1]は，解の集合{－1，1}において，「要素は1と－1である」と言っています．解xについて x＝－1 または x＝－1が成り立つということです． [2]は，「x≧－1の範囲」と「x≦…

※本稿は，高校数学における空集合の扱いについて考察するものです． 公理的集合論については，考えません！ n(Ａ∪Ｂ)＝n(Ａ)＋n(Ｂ)－n(Ａ∩Ｂ)が常に意味をなすためには，要素の個数が０である集合が必要になる．そうして定義された空集合は，あらゆる集合の…

日本数学検定協会さまからお声かけいただき，７／１１（日）のオンライン講演会で話者をさせてもらうことになりました． www.su-gaku.net さて，素人なのに思い切って書いた「統計」の本． この本の存在も，今回のキッカケになりました． 僕のような「数学好…

なかなか素敵なグラフが描けました． １つの式なのに２つに分岐して，それぞれが反比例のグラフ上にあります． 詳細は後ほど． その前に簡単に基本の確認から． まず，ガウス記号[ ] 実数xに対して， [x]＝(x以下の最大の整数) と定め，xの整数部分と呼びま…

漸近線とは？ Wikipediaには 解析幾何学において、平面曲線の漸近線（ぜんきんせん、英: asymptote）とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と接しない直線のことである。通常の定義では、漸近線は曲線と無限回交わってもよい。 漸近線は存在…

色んな発想する人が居ますよね．例えば・・・ ３次方程式 x^3-7x+6=0 の解は (x-1)(x-2)(x+3)=0 と因数分解することで x=1,2,-3 と求まるのですが・・・ x*x^2-7x+6=0 と見て，２次方程式の解の公式を使ったらどうなりますか？ という質問をされました（最初…

【やはり，⇔は嫌いだ！】 条件と条件を，軽々しく「⇒」や「⇔」でつなぎたくなる人，居ませんか？お願いです． 使う前に，ぜひ，一歩踏みとどまってください． 写真にはあのように書きましたが，本当は，明記された全体集合を優先して，「Ｐの条件」として捉…

「方程式」と「媒介変数表示」と「ベクトル方程式」 図形を等式で表すとき，言葉がけっこう錯綜します． グラフとは…関数y=f(x)に対して定義されるもので，点集合{(p,q)|q=f(p)}のこと 図形の方程式とは…図形を点集合{(p,q)|p,qに関する条件…(*)}と表すとき…

【増刷！】 みなさまのおかげで、拙著「ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング 数学IA」が増刷になります！ありがとうございます 三刷だと思います 授業のネタにしていただいているという先生の話を聞いたり、 正規の教材として学校採用していた…

今回は小ネタです．数値に対する感覚は，今後の共通テストでも問われるでしょうし，世の中に出てからも役に立つ感覚になると思います．数字のマジックに騙されないようにしましょう！ ところでご存じですか？三角比の表のsin 1゜の欄には，0. 0175とあります…

今回も重箱の隅をつついていきます（笑）もはやライフワークですね．さて，ほぼ同じ問題を４つ挙げています．いずれも，a=-1を答えるのがベストですが，a=1,-3という“誤答とされるもの”が正答と見なされ得るものがあります．良ければちょっと考えてみてくだ…