なかなか素敵なグラフが描けました．
１つの式なのに２つに分岐して，それぞれが反比例のグラフ上にあります．
詳細は後ほど．
その前に簡単に基本の確認から．
まず，ガウス記号[ ]
実数xに対して，
[x]＝(x以下の最大の整数)
と定め，xの整数部分と呼びます．
[3]=3 整数の整数部分は，その整数そのもの
[π]=3 3.14……の整数部分は3
[-1.3]＝？
[-1.3]を-1と思ってしまうかも知れませんが，x以下の最大の整数なので
[-1.3]＝-2
です．
-1.3=-2+0.7
と考えるのです．
y=[x]のグラフが，青い階段．
では，赤いグラフは？
これが小数部分を表しています．
3の小数部分＝0
πの小数部分=0.1415.……
-1.3の小数部分=0.7
です．
-1.3の小数部分は0.3ではなくて，0.7です！
小数部分は0～1の数値です．
式で書くと，
x=(xの整数部分)+(xの小数部分)
∴ xの小数部分=x-[x]
です．
小数部分は0～1の値が周期的に繰り返されて，赤いグラフのようになります．
小数部分を使って，変なグラフを作ったので，それを紹介します．
xの小数部分から0.99を引いた値と，0のうち，大きい方（同じのときは0）という値（maxの部分）を，xに加えています．
小数部分が0.99未満のときは，maxの部分が0で，y=xと同じ値．
小数部分が0.99以上のときは，maxの部分が小数部分そのもので，y=xよりもちょっと上に．
小数部分が0.99以上というのは，整数よりもちょっと小さい数ということです．
実数全体の99％は小数部分が0.99未満なので，グラフ全体の99%がy=xと一致しています．
ですが，定期的にy=xから離れるので，y=xは，このグラフの漸近線ではありません．
これは，なかなか面白いと思っています．
xが整数ではないときにはy=xと一致し，xが整数のときだけそれより1だけ上に点があります．
だから，上の例と同じく，y=xに漸近はしません！
さて，どんな構成か，分かるでしょうか？
小数部分x-[x]ではなく，その-1倍である[x]-xになっています．
xが整数のとき，
[x]-x=0 ∴[[x]-x]=0
xが整数でないとき，
[x]-xは-1より大，0より小 ∴[[x]-x]=-1
これによって，整数のところだけ上に１上がるグラフになるのです！
これは，小数部分x-[x]をxで割って，反比例っぽい雰囲気を出しつつ，xが整数のときにはy=xと一致するようにしています．
xの絶対値が大きくなると(x-[x])/xは0に限りなく近づくので，y=xに漸近します！
また，x<0の部分がy軸にも漸近しています．
では，これは？？
1/xの小数部分の-1倍が[1/x]-1/xです．
1/xが整数，つまり，xが（整数分の1）のとき，0．
そうでないときは，-1より大，0より小の値．
これに[ ]を付けた[[1/x]-1/x]は，
xが（整数分の1）のとき，0．
そうでないときは，-1．
それを2倍して1を加える（2[[1/x]-1/x]+1）と
xが（整数分の1）のとき，1．
そうでないときは，-1．
以上から，y=(2[[1/x]-1/x]+1)/xは
xが（整数分の1）のとき，y=1/x．
そうでないときは，y=-1/x．
２つの反比例のグラフ上に点が現れるグラフですが，xが（整数分の1）になるのはごく稀なので，実質100％がy=-1/x上．
y=1/x上には点々が現れるだけです！！
（ディリクレの関数というものを使おうかと思っていましたが，こっちの方がシンプルで面白いかな）
さて，|x|>1では常にy=-1/xだから，x軸はこのグラフの漸近線です．
では，y軸は漸近線でしょうか？
lim(x→+0)y = ∞ または lim(x→+0)y = -∞ または
lim(x→-0)y = ∞ または lim(x→-0)y = -∞
を定義にすると，「漸近線ではない」となってしまいます・・・
先日も
「漸近線」の限界に漸近してみる - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
に書きましたが，高校数学の教科書（数研）での定義は次のようになっています．
定義
グラフが一定の直線に限りなく近づくとき，その直線を，そのグラフの漸近線という．
また，
関数f(x)において
lim(x→b+0) f(x)=∞，lim(x→b+0) f(x)=-∞
lim(x→b-0) f(x)=∞，lim(x→b-0) f(x)=-∞
のいずれかが成り立つとき，直線y=bは曲線y=f(x)の漸近線である．
と書かれています．
「いずれかが成り立つとき，漸近線」
であって，
「漸近線であれば，いずれかが成り立つ」
とは書かれておりません！
「定義」に従うと，「y軸は，y=(2[[1/x]-1/x]+1)/xのグラフの漸近線だ」と主張できるということですね．
以上，漸近線と関連して，小数部分を用いた変な関数を考えるシリーズでした．
お付き合いいただき，ありがとうございました．
