『曲線
x^3＋y^3－1－xy＝0
の漸近線
3x＋3y＋1＝0
を如何にして求めるか？』シリーズの最終回です．
図を見てください．
ぽっこりカワイイ曲線は，45°回転すると，真横を向いたポッコリ曲線に変わりそうです．
では，回転はどうとらえましょう？
点Ｐ(p，q)を原点のまわりに45°回転して得られる点をＱ(X，Y)とおくと，
X＋Yi＝(p＋qi)×(1 / √2＋i / √2) ‥‥(*)
です．p,qが満たす関係式
p^3＋q^3－1－pq＝0 ‥‥(#)
からX，Yが満たす関係式を作りたいので，(*)を
p＋qi＝(X＋Yi)×(1 / √2－i / √2) ‥‥(*)
と変形しておくと良いでしょう．計算すると
p＝(X＋Y) / √2 ，q＝(－X＋Y) / √2
だから，(#)より，Ｑが満たす関係式は
{(X＋Y) / √2}^3＋{(－X＋Y) / √2}^3
－1－(X＋Y)(－X＋Y) / 2＝0
で，これを整理して，方程式の形（x，yの式）にすると，図の方程式が得られます．
√2 y^3－y^2＋3√2x^2 y＋x^2－2＝0 ‥‥(%)
さて，ここからが漸近線．
まず，方程式(%)をxの2次方程式と見ることで，yの取り得る値の範囲を
－1 / 3√2＜ y ≦√2 ‥‥($)
と求めることができます．
($)を求めるには，
・判別式≧0
・x^2の係数≠0
を考えたらＯＫです．
($)のおかげで，
x→∞のとき，y / x→0
が分かります．
(%)の両辺をx^2で割ると，
√2 (y / x)^2 ×y－(y / x)^2＋3√2y＋1－2 / x^2＝0
両辺でx→∞の極限をとると
3√2y＋1＝0 ∴ y＝－1 / 3√2 ‥‥(&)
これが，回転後の漸近線．
予定通り，漸近線は，横線です．
では，元の曲線の漸近線は？
この横線を－45°回転したもの．
上のように軌跡の考え方を用いても良いけれど・・・
傾きが－1になることは分かっているので，どこかの“点”に注目すればよい！
(&)上の点
(0，－1 / 3√2)
を－45°回転すると・・・
(－1 / 6，－1 / 6)
この点が元の曲線の漸近線上にある．
元の曲線の漸近線は，ここを通り，傾きが－1の直線だから
y＝－(x＋1 / 6)－1 / 6 ∴ 3x＋3y＋1＝0
と分かりました．
回転するのはメンドクサイけれど，回してしまうと，そのあとは比較的，処理量は少なかったですね．
