接しているかどうかは，以前にも書いたように，接空間で理解すべきものです． 接するって，どういうこと？ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 単位円ではx=1，y=1が接線になることは疑いようのないことです． 上半円にy=…

∞シリーズはお楽しみいただけましたか？ ∞を１つの式で表してみた - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 今回は，∽のような曲線を１つの式で表す企画です．左は下半分，右は上半分（点線は気にしないでください）．各xに対…

真ん丸の眼鏡を最近買った私が，2円を合わせてできる∞を１つの式で表すという企画です．「∞は“眼鏡には無限の可能性がある”ことから作られた記号だよ」と説明すると，だいたいスゴイ空気になります（笑）さて，本題．あやしいのは，明らかに（１）です．複雑…

移ったあとの円は(2,0,0)でx軸に接するそうです．その円の中心は？？xy平面にあるとしたら，(2,1,0)または(2,-1,0)です．xy平面をxy平面に移す変換になるのは，ｌがxy平面と垂直，または，lがxy平面に含まれるときでした． 空間で直線に関する対称移動をし…

少しずつ岡潔ワールドの一部が見えてきたような，見えていないような．私の言語化プロジェクト（実際は備忘録）も５回目．そろそろ終わりかなと思いつつ，もう少しだけやらせてください． 「ピカソと無明」そんなタイトルの項がありました．岡崎でのピカソ展…

先日の，空間内での円の接線の話は，無事に解決しました！ 接するって，どういうこと？ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 接する系の話もまた書くとして，今回は，対称移動を空間でやってみる話です． ●平行●例えば，ｌ…

自信満々ではないですが，２），３）は接していないと思います．曲線と曲線が接するというのは，（微分できるという前提のもとでは）共有点で速度ベクトルを共有している状況であると思うのです．（多様体での接空間も，多様体の次元と同じだったはず） だか…

読み込んで少し岡ワールドが見えてきたような気がするのですが，たぶん勘違いなのでしょう（笑）天才が何十年もかかって到達した「数学は情緒」ですから．私の理解を深めるための言語化プロジェクト．備忘録みたいなものですが，公開するつもりでないと書か…

空間内でのちょっと変わった方程式を考えてみました - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 前回の円について |x^2+y^2+z^2-1|+|x+y+z|=0という書き方も可能，と友人からメッセージをもらいました．確かに！ 今回は最初から()…

「数学は情緒」で有名な岡潔についての本．さっぱり分からないところを飛ばしつつ（笑），２周目の途中．特に気になったところを，自分の言葉にして理解を深めようとしています．今回が３回目．何回続くか？ 本当に「分かる」とはどういうことか？ 例えば，…

空間内で１つの方程式で表されると・・・ x^2+y^2+z^2=1 …球面 x+y+z+1=0 …平面 x^2+y^2=1 …円柱と，曲面になります．３次元内で１つの式は，曲面．２つを連立すると，曲線． x=y=z …直線は，原点を通り，(1,1,1)方向の直線です．これは 平面x=y と 平面y=z…

「数学は情緒」で有名な岡潔についての本．一回読んだだけでは，やっぱりあまりよく分からない（笑）言葉にする方が理解が進むと思い，私が感じたことをブログに書いています．何回になるか分からないですけど，今回が２回目です． 自分にとってはよく分から…

「数学は情緒」で有名な岡潔．その「最終講義」「留学時の話」「エッセイ」などを集めた本で，森田さんの解釈が分かりやすいですが・・・一回読んだだけでは，やっぱりあまりよく分からない（笑） 言葉にする方が理解が進むと思い，私が感じたことをブログに…

偽なのは， ２が偶数ならば，２は奇数である の１つだけ！ 何ででしょう？ 高校数学では扱わない部分ですが，踏み込んでみましょう！ いきなり結論ですが ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 命題ｐ，ｑについて，「ｐ→ｑ」が“真”になるのは ｐ，ｑがともに“真” また…

何となく解けているだけになっている人，けっこう多いかも知れませんよ． では，行間をすべて細かく見ていくことにしましょう． まず，本問は，実数aについての条件： 「y＝x^2に(0, a)から２本の接線を引ける」‥‥（＊） を「aの範囲」に書きなおす問題です…

kに関する条件p(k)は，kに数値を代入するごとに命題になり，真偽が決まるのでした． p(1)は真，p(2)は偽，・・・ という感じです．ある日本語を条件に付け足すと，命題に変わります． １つ目： すべてのkについてp(k)が成り立つ ２つ目： p(k)を満たすkが存…

私が書くなら，次のようにします． 【解】(t,t^2)[ を接点とすると接線は ・ における接線は ] y＝2tx－t^2 …① (0,a)を通る[ 条件は ・ から ] a＝－t^2 …② ②が異なる２つの実数解をもつ[ 条件は ・ から ] a＜0 ■ ですね． ２本の接線が存在する条件は，接…

「～の条件を求めよ」というタイプの問題で， ～であるから，●●である． という書き方をしてある解答を目にすることがあります． ～であることが分かっているときに何かを考えたいなら，「～であるから」で良いでしょう．あるいは， ～ならば●● を示したいと…

※本記事はあくまで私見です． これに反した記述を批判する意図はございません！ ①はダメだと思うんです．②のように書くと，ギリギリセーフかな？と思います． ③は教科書にある表現ですが，ちょっと気持ち悪い・・・③’が良いと思いませんか？ 収束するときは…

※下から２つ目の答え，１ではなく，２です．スミマセン・・・質問に答えるなら・・・論点を変更するのが一番楽ですね． でもそれだけで終わるともったいない！ 【回答例】＊＊＊＊＊ 収束するものの積は，極限値の積に収束する を使っているんじゃないんだ！…

４次関数で平方完成して， (２次式)^2＋(１次式) という形にできることを紹介しました．その際，最後に残る１次式は， y＝(１次式) という直線を作ると，４次関数のグラフに２点で接する接線になるのでした．ただし，(２次式)＝０が異なる２つの実数解をもつ…

２重線の「⇒」は，「命題」を作る記号．１重線の「→」は，高校教科書には登場しないですが，前後に「命題」や「条件」と伴って「ならば」を表すものです． この点をちょっと説明します． 適当な集合Aを全体集合として，「条件」の p(x)→q(x) （p(x)ならばq(x…

先日は，失礼しました．接線と見せかけて，実は接していないという・・・ 今回は，解と係数の関係ではなく，平方完成で y＝(x－α)^2×(x－β)^2+px+q の形を作ってみました． 幸い，αとβを解にもつ２次方程式で，判別式は正になるようです．ということは・・・…

条件 p(x) は，x に代入するごとに命題（真偽が決まる）になるものでしたね． 命題p(0)は真，命題p(π)は偽 という具合に． p(x)→q(x) は，x に何か代入しないと真偽が決まらないので，「条件」． 任意の x について「p(x)→q(x)」 とすると，「命題」になるの…

さて今回は，アホがバレてしまいそうですが，無知の知ということでご容赦ください． minute は時間の長さの単位．どうやら，「11時21分」という「分」を minute で表すのではないようです．１時間と言ったら，時間の長さの感じがします．１分間と言ったら，…

重箱の隅が大好物（笑）今回も隅っこの方をつついていきます！ 極限とは？無限数列において，十分大きい番号nの項に限定して，その挙動を考えること．「十分大きい番号で常に●●が成り立つ」というのが極限の原則でした．“十分大きい”ももちろん大事ですが，…

ちょっと前の記事の続きです． イプシロンは卒業！ “攻め”の収束！ - yoshidanobuo’s diary 何かキッカケがあると，急に世界が開けることってありますね．数学をやる楽しみの１つです．常に嗅覚を敏感にしておきたいですね． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 数列{a_n}が…

例えば，y＝x^2-3x+1において，-3x+1の部分を取り出した直線 y=-3x+1 は，どんな直線でしょう？ y＝x^2-3x+1と連立すると x^2-3x+1＝-3x+1 という２次方程式が得られ，これは x^2＝0 ∴ x＝0（重解） です．図形的には，どういう意味でしょう？ そう，x＝0で…

黄金比は有名ですね．正五角形で，辺に対する対角線の長さの比で，x＝(1＋√5)/2．1,x,xの二等辺三角形を作ると，頂角は36°です． では，白銀比だと？コピー用紙の短い辺に対する長い辺の長さの比．Ｂ４を横に置いてタテ１，ヨコ x とおくと，半分にしたらＢ…

逆数をとるので，怪しいのは，a_6＝0 になること． 最初から数が並んでいて，逆数をとったものの極限では，数列の項を「十分大きい n でのみ」考えるから，1 / a_6 が存在していなくても，1 / a_7 は存在しており，何事もなかったかのように極限を考えること…