移ったあとの円は(2,0,0)でx軸に接するそうです．
その円の中心は？？
xy平面にあるとしたら，(2,1,0)または(2,-1,0)です．
xy平面をxy平面に移す変換になるのは，ｌがxy平面と垂直，または，lがxy平面に含まれるときでした．
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空間で直線に関する対称移動をしてみる - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
●垂直●
ｌとxy平面の交点に関する対称移動と同じになるのでした．
適するのは，その点が原点Ｏと中心の中点，つまり，(1,1/2,0)または(1,-1/2,0)のとき．
ｌの方程式は，
「x=1 かつ y=1/2」 と 「x=1 かつ y=－1/2」
●含まれる●
xy平面内の直線ｌに関する対称移動では，xy平面の点はxy平面の点に移ります．
ｌが，原点Ｏと中心を結ぶ線分の垂直二等分線のとき，適するものになります．
ｌの方程式は
「x^2+y^2=(x-2)^2+(y-1)^2 かつ z=0」
と
「x^2+y^2=(x-2)^2+(y+1)^2 かつ z=0」
です．少し整理すると，
「4x+2y=5 かつ z=0」
と
「4x-2y=5 かつ z=0」
です．
●平行●
このような直線に関する対称移動では，xy平面は，自身と平行な平面に移ります（xy平面ではない！）．
xy平面上の単位円が，x軸上の点(2,0,0)を含む図形には決してなりません！
●一般的な配置●
上記以外のとき，という意味です．
ｌと平面の交点をＡとすると，対称移動でＡは変化しません！
次に，平面内で，Ａを通ってｌと垂直な直線ｍの像はｍ自身になると分かりますか？
そして，ｌをxy平面に正射影して得られる直線をｌ’とします．
ｌ’は，Ａを通り，ｍと垂直な直線です．
ｌに関してｌ’を対称移動して得られる直線ｌ”も含みます．
ｌ”がどんな直線かというと・・・
ということで，xy平面の像は，「ｍとｌ”を含む平面」ということになるのでした．
一般的な配置（「平行，垂直，含まれる」ではない）ときは，像である平面は，xy平面ではないですね！
ここまでが一般論．
今回は，「xy平面上の単位円を移すと，ｘ軸を含む平面内の円になり，しかもx軸と(2,0,0)で接する」という条件を考えます．
そんなｌが存在するとしたら・・・
まず，上記のｍがx軸になります．
元の単位円は，この直線ｍと２点(1,0,0),(-1,0,0)で交わっています．
ｍは全体として不変なので，移動後の円も，ｍと２点で交わるはずです．
しかし，移動後の円がｘ軸（つまりｍ）と１点(2,0,0)で接するようなものを考えています．
これは矛盾になっていますから，そんなｌ，つまり，単位円を移動してx軸に(2,0,0)で接する円にする直線，は存在しません！
ということで，適する直線は４本だけでした！
前に書いたのと同じく，空間図形を扱うときは，図形見えなくても，「こう決まったから，こうなんだ」という割り切り（？）も必要になります．
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