「方程式」と「媒介変数表示」と「ベクトル方程式」
図形を等式で表すとき，言葉がけっこう錯綜します．
グラフとは…
関数y=f(x)に対して定義されるもので，点集合{(p,q)|q=f(p)}のこと
図形の方程式とは…
図形を点集合{(p,q)|p,qに関する条件…(*)}と表すとき，(*)を座標軸の文字x,yを用いた式に直したもの
２次関数y=x^2のグラフを，「放物線y=x^2」とも言い，y=x^2をこの放物線の方程式とも言う．
もはやイミフメイ（笑）
y=x^2という式には，少なくとも３つの側面があるようです．
ちなみに，円の方程式：x^2+y^2=1は，１つの式でy=f(x)の形には書けません．
だから，x^2+y^2=1は「曲線」と言うけれど，「グラフ」とは言えない！
さらに，y=x^2をy-x^2=0と変形すると，「y-x^2=0のグラフ」という言い方は，かなりビミョーな表現だと思います．
図形を表すのに，ある変数の値が変化することで，動的にとらえることがあります．
その変数が「媒介変数」です．
例えば，放物線y=x^2は
{(p,q)|q=p^2}
ですが，これを
{(t,t^2)|tは実数}
と表すこともあります．
式で書くときは，
x=t,y=t^2 (tは実数)
という風に，x座標，y座標のそれぞれをtの式で表すことになります．
x=t,y=xt (tは実数)
という“間接的”な表現になることもあります．
これらは，放物線の「媒介変数表示」と言っても，「方程式」とは言いません！
さて，ここで，直線について．
直線y=2(x-1)+3
は，点Ａ(1,3)を通り，傾きが2の直線です．
y=2(x-1)+3は，「１次関数」を表しており，「直線の方程式」と捉えることもできます．
この直線の方程式として
2x-y+1=0 ……①
を考えることもできます．x,yの係数を順に並べたベクトル(2,-1)には，図形的に重要な意味があります．
直線①と垂直である
という意味です．
垂直である理由は？
傾きが2の直線はベクトル(1,2)と平行です．これは方向ベクトルと呼ばれます．
👉ベクトルdと表すことにします．
ベクトルdとベクトル(2,-1)との内積を計算すると
(1,2)・(2,-1)=2-2=0
で，(2,-1)は直線と垂直なベクトル（法線ベクトル）です．
👉ベクトルnと表すことにします．
①は，
2(x-1)-1(y-3)=0
と書けるから，ベクトルを用いて
(2,-1)・(x-1,y-3)=0
∴ (ベクトルn)・(ベクトルＡＰ)=0 ……②
となります．
ここで，点Ａは上で置いた(1,3)です．点Ｐは動点(x,y)です．
②はベクトルを用いた式で直線を表しているから，直線の「ベクトル方程式」と言います．
一方，ベクトルを用いた別の表現として，
(ベクトルＡＰ)//(ベクトルd)
∴ (ベクトルＡＰ)=t(ベクトルd) (tは実数) ……③
と表すことができます（細かいことを言うと，「または，Ｐ＝Ａ」が抜けています・・・）．
高校数学のベクトルにおいては，③も直線の「ベクトル方程式」と呼びます．
これに違和感を抱く人も多いようです．
なぜなら，③を書き換えていくと
(ベクトルＡＰ)=t(ベクトルd) (tは実数) ☚直線のベクトル方程式
(x-1,y-3)=t(1,2) ☚直線のベクトル方程式（成分バージョン）
(x,y)=(1+t,3+2t) ☚直線のベクトル方程式（成分バージョン）
x=1+t,y=3+2t 👉直線の「媒介変数表示」
と，急に名前が変わってしまうからです！
だから，③を「ベクトルによる直線の媒介変数表示」と呼ぶのがベストだと，私は思うわけです．
座標の文字x,yだけで表すのが「方程式」
別の変数を用いて表すのが「媒介変数表示」
なんだから，
ベクトルだけで表すのが「ベクトル方程式」
別の変数を用いて表すのが「ベクトルによる媒介変数表示」
としたら良いのでは，ということ（別の動点を用いて表すのは，何と呼ぼうか・・・）．
法線ベクトルを用いた直線の表示：
(ベクトルn)・(ベクトルＡＰ)=0 ……②
は間違いなくベクトル方程式です．
しかし，方向ベクトルを用いた直線の表示：
(ベクトルＡＰ)=t(ベクトルd) (tは実数) ……③
は，ベクトル方程式なんでしょうか？？
まぁ，「ベクトル方程式ということにした」と定められたらそう決まるのが数学（いまは教科書準拠の高校数学）だから，グチグチ言っても仕方ない・・・
敢えて抵抗するならば・・・
(ベクトルＡＰ)//(ベクトルd)
を
(ベクトルＡＰ)と(ベクトルd)のなす角が０°または180°
と言い換えて，
|(ベクトルＡＰ)・(ベクトルd)|^2＝|ベクトルＡＰ|^2・|ベクトルd|^2
※ | | について，左辺は実数の絶対値，右辺はベクトルの大きさです．
と書くことはできて，これなら，有無を言わさず「ベクトル方程式」だ！という主張です．
長々と書いて，そんだけかい！と，僕ならツッコミます．
最後まで読んでいただき，ありがとうございました．
