空間内で１つの方程式で表されると・・・
x^2+y^2+z^2=1 …球面
x+y+z+1=0 …平面
x^2+y^2=1 …円柱
と，曲面になります．
３次元内で１つの式は，曲面．
２つを連立すると，曲線．
x=y=z …直線
は，原点を通り，(1,1,1)方向の直線です．
これは
平面x=y と 平面y=z
の連立によって得られていると考えることができます．
つまり，平面２つの共通部分として，直線を表現しているのですね．
曲線は，曲面２つの共通部分！
では，今回の方程式は？
ヒントの形から，
(x^2+y^2+z^2)^2+2xy+2yz+2zx-(x^2+y^2+z^2)+1=0
と変形できるわけですが・・・
2xy+2yz+2zx＋x^2+y^2+z^2
なら，
(x+y+z)^2
とできるのですけど．
この形を作って変形すると，
(x^2+y^2+z^2)^2+(x+y+z)^2-2(x^2+y^2+z^2)+1=0
となってしまいます．
ということは？
(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2+y^2+z^2)+1={(x^2+y^2+z^2)-1}^2
と完全平方式になりそうです！
よって，元の方程式は
(x^2+y^2+z^2-1)^2+(x+y+z)^2=0
と変形できました．
２乗の和が０と言うことは？
x^2+y^2+z^2-1=0 かつ x+y+z=0
つまり
球面：x^2+y^2+z^2=1 かつ 平面：x+y+z=0
となるから，「円」を表しています！
空間でも１つの式で曲線を表すことができるのですね！
平面で
(x-1)^2+(y-3)^2=0
という方程式が１点(1,3)を表すのに似ています．
これを応用すると，空間内で色んな曲線を１つの式で表すことができる可能性がありますね．
ぜひ色々と考えてみてください．
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