空間内でのちょっと変わった方程式を考えてみました - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
👆
前回の円について
|x^2+y^2+z^2-1|+|x+y+z|=0
という書き方も可能，と友人からメッセージをもらいました．
確かに！
今回は最初から()^2+()^2=0の形にしておきました．
これが表す図形は，
x^2+y^2=z^2 と y+z+1=0
の共通部分．
２つ目は平面を表していますが・・・
１つ目はいったい？？
左辺は，円のような雰囲気です．
よく分からない図形は，断面を考えるに限ります．
例えば，z=1という平面での切断面は
x^2+y^2=1 かつ z=1
で，中心が(0,0,1)で半径が1の円です．
z=-1でもほぼ同じですね．
z=2での断面は
x^2+y^2=4 かつ z=2
で，中心が(0,0,2)で半径が2の円です．
半径がzの値と等しくなるようです．
ということは？？
x^2+y^2=z^2
は円錐を表しているようですね！
原点が頂点で，上下に，どこまでも続く円錐です．
また，平面x=0での切断面は
y^2=z^2 かつ x=0
∴ (y=z または y=-z) かつ x=0
で，原点を通る傾きが±1の２直線です．
この直線をｚ軸のまわりに回転して得られる円錐ということもわかります！
x^2+y^2=z^2 かつ y+z+1=0
は，円錐を，母線の１つ「y+z=0 かつ x=0」と平行な平面y+z+1=0で切った断面なので・・・
放物線になっています！
円錐を平面で切った断面は，一般に２次曲線．
今回はそれが放物線になります．
ちょっと式でもやってみましょうか．
x^2+y^2=z^2にz=-y-1を代入すると
x^2+y^2=y^2+2y+1 ∴ 2y=x^2-1
「おっ！放物線！！」と思った人，ちょっと先走り過ぎです．
正確に説明します．
x^2+y^2=z^2 かつ y+z+1=0
⇔ 2y=x^2-1 かつ y+z+1=0
と意識しましょう．
空間図形の方程式として，
2y=x^2-1 …①
は放物線ではないのです！
{(x,y,z)|2y=x^2-1}
ですから，z=kの平面での切断は，ぜんぶ同じ形の放物線なのです．
だから，①が表すのは，
放物線“柱”
です！
その底面が，
2y=x^2-1 かつ z=0
です．
その放物線柱を平面y+z+1=0で切断して得られる放物線が，今回のこたえ．
(円錐を平面で切った図形)
＝(放物線柱を平面で切った図形)
＝(放物線)
ということ．
放物線柱を斜めに平面で切って得られる放物線．
その放物線を，xy平面に正射影して得られる放物線が
2y=x^2-1 かつ z=0
です！
空間も，式で捉えられるようになると，案外，見えるものかなと思います．
※私の書籍一覧もご覧ください※
☟
