yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー

「大学への数学」執筆者・吉田信夫の数学探求ブログ(共通テスト系問題の研究報告)

新発見!? 「“三角形の外接円”のベクトル方程式」を求める公式

公式の発見が止まらないです(笑)

この公式を知っていた人も,「知ってたよ」「しょうもな」とか思わないでくださいね.「やっと吉田くんも私のところまで追いついてきたか.でも,まだまだだね」くらいにしておいてください(笑)
どうぞ温かい目でご覧ください.

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以下の記事の発展です.
  👇

円だと分かっているので・・・ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー


()の雰囲気から,P(x, y)とおいたら

  A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0

という形になるはずなので,()が表す図形は

  円  直線  1点  ∅(空集合

のいずれかです.
これが大前提!

()が外接円であることを示すには??

  「()が3点A,B,Cを通る

が分かればOKです!
なぜなら,

  Aを通れば,∅ではない
    ↓
  Bも通れば,1点ではない
    ↓
  Cも通れば,直線でない
    ↓
  よって,円と分かる
    ↓
  A,B,Cを通る円は,外接円のみ!

となるからです.

P=Aを代入すると,()の左辺は

   ()の左辺
  =0+b^2(c^2+a^2-b^2)c^2+c^2(a^2+b^2-c^2)b^2
  =b^2*c^2{(c^2+a^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)}
  =2a^2*b^2*c^2

で,()の右辺と一致します.
つまり,P=Aは()を満たしていて,()が表す図形はAを通ることが分かりました.
同様に,P=B,P=Cを代入することで,()がB,Cを通ることが分かります

こんな公式,どうやって導いたんでしょうね?
それは秘密にしておきます(笑)
高度な数学で言うと,重心座標と関連がありそうですね.
ぜひ,その辺りを探求いただければと思います.


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