真ん丸の眼鏡を最近買った私が，2円を合わせてできる∞を１つの式で表すという企画です．
「∞は“眼鏡には無限の可能性がある”ことから作られた記号だよ」と説明すると，だいたいスゴイ空気になります（笑）
さて，本題．
あやしいのは，明らかに（１）です．複雑すぎます．
それは後でやることにしましょう．
(2)は分かりやすいですね．
x≧0の部分：(x-1)^2+y^2=1
x≦0の部分：(x+1)^2+y^2=1
を表すのに
|x|=x（x≧0のとき）
|x|=-x（x≦0のとき）
を利用しています．
次に，(3)は極方程式です．
r=2cosθ(0≦θ＜2π)
が円：(x-1)^2+y^2=1を表します．
ただし，２周するのですね．
ちょっと確認しておくと，
(x,y)=r(cosθ,sinθ)
なので，
x=2(cosθ)^2，y=2sinθcosθ
∴ x=cos2θ+1，y=sin2θ
です．
(x-1)^2+y^2=(cos2θ)^2+(sin2θ)^2=1
となるのですね．
０≦θ≦π/2のときはx≧0，y≧0の部分
π/2≦θ≦πのときは，r≦だから，x≧0，y≦0の部分
π≦θ≦3π/2のときもr≦で，x≧0，y≧0の部分
3π/2≦θ＜2πのときはx≧0，y≦0の部分
になっています．
r≦0になるπ/2≦θ≦3π/2の部分でr≧0になるように
r=2|cosθ|
に変えると，
π/2≦θ≦πのとき，x≦0，y≧0の部分
π≦θ≦3π/2のとき，x≦0，y≦0の部分
に変わって，２円を表せます！
では，最後．ナゾの(1)です．
複雑な(-1)^●の部分を見なかったら
y=√(1-(|x|-1)^2)
で，２円の上半分の半円を合わせた図形です．
y=-√(1-(|x|-1)^2)
なら，下半分２つを合わせたもの．
(-1)^●は，●が偶数だと1で，奇数だと-1です．
●部分は，ガウス記号を使って書かれています．
[x]＝(x以下の最大の整数)
です．
[2028x-2[1024x]]
は，少しややこしいのですが・・・
・0≦x＜1/2048のとき，
0≦1024x＜0.5，[1024x]＝0
∴ [2028x-2[1024x]]=0
・1/2048≦x＜2/2048のとき，
0.5≦1024x＜1，[1024x]＝0
∴ [2028x-2[1024x]]=1
・2/2048≦x＜3/2048のとき，
1≦1024x＜1.5，[1024x]＝1
∴ [2028x-2[1024x]]=0
という風に，区間ごとに0,1を繰り返します！
だから，２円の上半分，下半分，を交互に繰り返すグラフになります！
関数の形（y=f(x)）では，１つのxに対してyは１つに決まるので，∞を表すことはできないのですね・・・
繰り返し幅を０にして，もっと∞に近いグラフを作ることも可能ですが，完全なる∞にはなりません．
（例えば，xが有理数なら1，無理数なら-1などとします）
ガウス記号，絶対値記号を駆使すると，面白い曲線が描けそうです．
続きはまたの機会に！
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