yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー

「大学への数学」執筆者・吉田信夫の数学探求ブログ(共通テスト系問題の研究報告)

三角関数

2022共通テスト・追試 数学ⅠA,数学ⅡBについての雑感

【共通テスト・追試の数学】問題がなかなか見れないという人も居ますが,こちらにありました. ありがとうございます. ⇓ www.minyu-net.com 【ⅡB】ⅡBはすごく良いと思う! 細かいツッコミどころはあるけれど,かなり定性的になっていると思います. 「ポア…

分数関数の最大値と言えば・・・

授業しているとき,生徒の言うがままに解き進めていくと,写真の問題に行き着いた. 3x/(2+x^2)の最大値は? 高2,文理両方の生徒が居る.理系は数Ⅲ既習で,数Ⅲで何でもやれるという万能感に浸る時期. 「文系がいるけども・・・」 と数Ⅲでやるかどうか.こ…

似て非なる問題,真の姿は?

置き換えたら2次式になるタイプだ.範囲をしっかり考えよ!置き換えたものが2次方程式でも2次関数でも,ほとんど同じだ! ってやってしまうのですけど・・・ むっちゃ細かく見たら,ぜんぜん違う問題なのではないか?※こうやって解くべきだ,と言いたいの…

円周率は3.15よりも大きいのか?

今回は小ネタです.数値に対する感覚は,今後の共通テストでも問われるでしょうし,世の中に出てからも役に立つ感覚になると思います.数字のマジックに騙されないようにしましょう! ところでご存じですか?三角比の表のsin 1゜の欄には,0. 0175とあります…

無限にヒヨコが並ぶ領域を1つの方程式でw

方程式1つで領域を表すシリーズも,ここまで来てしまいました(笑) |x-1|+|x-2|=1が1≦x≦2を表すことは何度も紹介しました.右辺は,2-1の1です.これを応用しまくると, |y-f(x)|+|y-g(x)|=f(x)-g(x)に自然に到達しますね(ぼくだけ?). f(x)≦y≦g(x)とい…

面白い図形問題

三角比を使って解いてはみましたが,これでは全然,面白くない!ということで,初等編! 2つの直角三角形ABEとBCFが合同なので,求める面積は,三角形ABGの面積と等しいです.鋭角の1つが15°で斜辺の長さが6の直角三角形です.これを2つくっつけると・・…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密⑦

チェビシェフシリーズ,最終章です! 角度が整数で,コサインが有理数になるのって,どんなとき?なかなか深いテーマです.これを扱うために,何回もチェビシェフの多項式について述べてきました.集大成! [結論]0°~180°では,コサインが有理数になる整…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密⑥

6倍角の公式の元になるチェビシェフの多項式は T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1 でした.つまり, cos(6θ)=32(cosθ)^6-48(cosθ)^4+18(cosθ)^2-1 となるわけです.2倍することで 2cos(6θ)=(2cosθ)^6-6(2cosθ)^4+9(2cosθ)^2-2 となり,ちょっと嬉しい…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密⑤

チェビシェフの多項式T_n(x)は, x^k (k≧2)の項の係数は,2^(k-1)の倍数になる のでした!漸化式を用いて数学的帰納法で証明しましたが,別の方法も考えてみましょう. ここで,複素数が再登場です! T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1 を別ルートから考えます…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密④

チェビシェフの多項式T_n(x)は,2次以上の部分は,すべて係数が偶数になっているのですね!ただし,ここに書かれているのはn≦6だけですから,n≧7でもそうなっているのかは分からない!この法則は,本当にずっと続くのでしょうか? さて,以下,T_n(x)を…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密③

ド・モアブルの定理と二項定理で,n倍角の公式を作るのは,けっこう有名かも知れませんが,これから内容を発展させていくなかで触れておきたいな,ということで. (cosθ+i sinθ)^2=cos(2θ)+i sin(2θ) と (cosθ+i sinθ)^2=(cosθ)^2+2i sinθcosθ-(sinθ…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密②

漸化式&帰納法バージョン n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー 漸化式を使って帰納法で示すのは,連鎖的な構造が分かって気持ちいいですが,「そのもの」…

n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密①

チェビシェフの多項式は,グラフがピタッとしているから,気持ちいいですね.TはチェビシェフのTかと思いきや,Chebyshevがチェビシェフなので,違うんですね.三角多項式ともいうようなので,trigonometric polynomialのTかも知れません. poly=多 ですね…

三角関数の問題と思っていたら,実は整数問題なのです!

この計算を見て何を思いますか? n倍角の分母は 5^n っぽいですね!これは正しそうですか? 加法定理を使えば,数学的帰納法で示せそうです.ですが, 既約分数としての分母が 5^n になるのか? というのは易しくないように思います.いかがでしょうか? 実…