前の記事の続きです．
±は罪深い表記だと，改めて思いました．
「実数xについての方程式x^2＝1」
とは，
「実数xを変数とする条件x^2＝1」
のことで，その解とは，
「変数xに代入して得られる命題が“真”になるもの」
のこと．
ただし，「解をすべて求めること」つまり，「条件x^2＝1の真理集合を決定すること」を「方程式を解く」と言い，解全体の集合のことも「解」と呼びます．
※「方程式x^2=を解け」は，
「xにどんな実数を代入したら真になるかを考えよ」
という意味で，
「xが1であるか―1である」
と言っているわけではありません！
そう見るのは，未知数としてのxであり，いまは，変数としてのxです．
詳しくは後ほど．
「実数xについての方程式x^2＝1」の解は
{1,－1}
です．
「実数xを変数とする条件」として「x^2＝1」と同値な条件が
「x∈{1,－1}」
です．集合を用いずに書くと，
「x＝1 または x＝－1」
です．
毎回こう書くのがメンドクサイから，この条件のことを
「x＝1，－1」
と略記することが認められています．あくまで，条件として．
さらに，こう書くのもメンドクサイということで，
「x＝±1」
と書くことも認められています．あくまで，条件として．
だから，変数xに数値を代入して得られるもの（命題）を考えるとき，このままの形で考えるとおかしなことになってしまいます．
「x∈{1,－1}」
「x＝1 または x＝－1」
「x＝1，－1」
「x＝±1」
は，どれも同じ条件を表します．変数xに1を代入すると，命題は真になるのですが，その命題としては
「1∈{1,－1}」
「1＝1 または 1＝－1」
「1＝1，－1」
「1＝±1」
となります．
上で「あくまで，条件として」と書いたのは，「1＝1，－1」と「1＝±1」は命題として認めてはならないだろう，ということです．
ここの認識が誤っていると，
【すべての実数xで
√(x^2)＝±x
が成り立つ．だから，x＝2を代入した命題
√4＝±2
は真である】
という主張をしてしまう可能性があるわけですね．
さて，では，未知数と変数について．
「２乗すると1になる実数を求めよ」
という問いに出くわしたとします．
【そんな数をxとおく．すると，xはx^2＝1を満たす実数である．】
【x^2＝1を解くとx＝1,-1である．】
【よって，当てはまる数は1,-1である．】
赤字部分のxは，求めようとしている「値」を表す文字で，「未知数」．
求まっていない段階でも．xは1か-1を表しています．
しかし，青字部分は，「方程式の理論」を使って，「条件の言い換え」をしており，ｘは「変数」．
例えば，xに2を代入することもでき，「2^2＝1」という偽の命題が得られます．
変数ですから，何でも代入できます．
未知数の値を求めるのに，いったん変数に切り替えて方程式の解法を利用し，最終的に数値としての1,-1を求めています．
ここに記号のトリックがあって，バレないように“，”の使い分けがされています．
よく考えると，
【x＝1,-1】は【x＝1 または x＝－1】
【当てはまる数は1,-1】は【当てはまる数は1と-1】
です．
前者は条件の略記ルールに対応する“，”で「または」であり，
後者は数値の列挙の区切りを表す“，”で「と」です．
教科書では，この辺りを悟られないような巧みな書き方がされています．
こんな風に説明されたら混乱しかしないですからね．
私は，「このように教えるべきだ」などとは思っておらず，「いつかここで引っかかる生徒が居ないかなぁ，そのときには完璧に納得させられるのになぁ」と思っているだけです．
来たるべき時に備えて，自信を持てました！
早くそんな生徒に出会いたいな．
なかなか出会えないと，求められていないのに話したくなってしまかも笑
