こんな質問がありました．
合わせて，色んな問題で「解」というものを考えるけれど，それって正確にはどういう意味？と．
何となくで数学をやっていると気にも留めないですが，ちゃんと知ろうとしたら躓くところです．
だって，高校数学のブラックボックスに近い部分ですから．
※文字ばかりで読みにくいですが，お許しを．
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さて，いつも書くことですが・・・
「条件」は，変数を含む数学的な文や式で，変数に具体的なものを代入するごとに命題になるものです．
その際，前提として，代入できるもの全体の集合を決めないといけません．
その集合の要素の中で，条件に代入して真になるもの全体の集合を考えて，その包含関係により，必要条件・十分条件という風に言われます．
実数θに関する条件として，
-1≦sinθ≦1 ……☆
⇔θは実数
⇔sinθ＜2
⇔-5≦sinθ
です．どんなθでも成り立つ条件だからです．
また，全体集合が0≦θ＜2πであるとき，
sinθ≧1/2
⇔π/6≦θ≦5π/6
⇔1/2≦sinθ≦1 ……☆
⇔1/2≦sinθ≦10
⇔1/2≦sinθまたはsinθ＝-5
です．
sinθの値の範囲を表す条件としては☆ですが，他のものも条件としては同値です．
とりうる値の範囲や，方程式・不等式の解，軌跡の方程式などを答えるときは，条件の中でも☆にあたるものを答えよ，という意味になっているのだと思います．
（例）
正の実数xについての方程式(xの4乗)＝１を解け．
※解くとは，解をすべて求めること．
※解とは，方程式に代入したら真の命題になるもののこと．
※解全体の集合を解と言うこともある．解け，と言われたら，こっちの意味．
（補足）
2x-1=0の解は1/2であって，正確にはx=1/2ではない．
x=1/2は，解が明示された形の方程式であって，解の表現としてこれも認める，となっているから，x=1/2と答えてもよい．
x=1/2は，xに1/2を代入したときのみ真になる条件．
xに1などを代入することもできるが，そのときは1=1/2という偽の命題になる．
（例の解答の一例）
正の実数xについての条件として，
(xの4乗)＝１
⇔(xの2乗)＝１または(xの2乗)＝-1
⇔x=1またはx=-1またはx=iまたはx=-i
⇔x=1,-1 ←「または」を省略して，こう書いても良いことになっている
⇔x=1
である．よって，解は1（x=1と答えても良い）．
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では，本題．
-1≦ｘ≦1⇔ｘ＝sinθ（0≦θ＜2π）
なのか？
そもそも，何についての条件なのか？
「-1≦ｘ≦1」はxについての条件
「x＝sinθ（0≦θ＜2π）」はxとθについての条件
です．
xについての条件のだろうと思います．
なぜなら・・・
xとθの条件として考えるなら，xとθに数値を代入した命題を考えることになります．
例えば，x=0,θ＝π/2として
-1≦0≦1 ならば 0＝sinπ/2（０≦π/2＜2π）
0＝sinπ/2（0≦π/2＜2π） ならば -1≦0≦1
を考えるのは，何とも奇妙だからです．
xの条件として考えるには，θが変数であってはならないので，
「x＝sinθ（0≦θ＜2π）となるθが存在する」
に変えないといけません．
xについての条件として，
-1≦x≦1
⇔x＝sinθ（0≦θ＜2π）となるθが存在する
です．
ついでながら，「解」について確認しておくと・・・
θに0以上2π未満の実数を代入して得られるxを“すべて”集めて得られる区間が-1≦x≦1．
この区間内にある各実数について，その数を表すθが“存在”する．
☝ ☝
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（例）
平面上に異なる２点A,Bがある．
同じ平面内の点Pについての条件として
A,B,Pが同一直線上にある
⇔(ベクトルAP)＝t×(ベクトルAB) となる実数tが“存在する”
です．間違っても
A,B,Pが同一直線上にある
⇔(ベクトルAP)＝t×(ベクトルAB)
と書いてはダメです．
(ベクトルAP)＝t×(ベクトルAB)のtに実数を代入して得られるPを“すべて”集めたら，Pの描く図形（軌跡）．
その軌跡上の各点に対して，その点を表す実数tが“存在”する．
（例）
整数m,nについての不定方程式3m＋2n＝1
3(m-1)+2(n+1)=0と変形できて，
3(m-1)＝-2(n+1)
3,2は互いに素だから，
3(m-1)＝-2(n+1)＝6k
となる整数ｋが“存在”して，
m=2k+1,n=-3k-1
と表すことができる．
（それぞれの解に対して，整数ｋが“存在”する）
よって，解は，
m=2k+1,n=-3k-1
のｋに整数を代入したものの“すべて”である．
条件の比較においては，変数が何であるかを見極めることが大事です．
何となくで「⇔」を使うことのないように．
