先日の，空間内での円の接線の話は，無事に解決しました！
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接するって，どういうこと？ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
接する系の話もまた書くとして，今回は，対称移動を空間でやってみる話です．
●平行●
例えば，ｌが「y=0 かつ z=1」とすると，xy平面の像は？
x軸が「y=0 かつ z=2」に移りそうです．
一般には(a,b,0)は(a,-b,2)に移ります．
像は，平面z=2です．
いずれの場合も，像は平面です．どんな平面かを考えていきましょう．
●垂直●
例えば，ｌが「x=0 かつ y=0」とすると，どうでしょう？
z軸に関する対称移動です．
これは，xy平面の点の移動だけを考えると，原点に関する対称移動と同じです！
(a,b,0)は(-a,-b,0)に移って，xy平面の像はxy平面です！
垂直な直線は，適するものになります！
●含まれる●
xy平面内の直線ｌに関する対称移動では，xy平面の点はxy平面の点に移ります．
これは問題ないでしょう！
含まれる直線は，適するものになります！
●一般的な配置●
上記以外のとき，という意味です．
これは，イメージしにくいですよね．
まず，自明なこと．
ｌと平面の交点をＡとすると，対称移動でＡは変化しません！
次に，平面内で，Ａを通ってｌと垂直な直線ｍの像はｍ自身になると分かりますか？
ｍ上の適当な点Ｂからｌに引いた垂線の足はＡであるから，Ｂのｌに関する対称点は，Ａに関する対称点と一致し，その点もｍ上にあるのです．
そして，ｌをxy平面に正射影して得られる直線をｌ’とします．
ｌ’は，Ａを通り，ｍと垂直な直線です．
ｌ’の像はどうなるでしょうか？
ｌとｌ’を含む平面Ｐを考えます．
Ｐは，Ａを通ってｍと垂直な平面です．
ｌに関してｌ’を対称移動すると，Ｐ内の直線ｌ”になります．
ｌ”がどんな直線かというと・・・
ｌ’とｌ”のちょうど真ん中をｌが通っている
という配置になりそうです．
角の二等分線でになっていますね．
ということで，xy平面の像は，「ｍとｌ”を含む平面」ということになります．
一般的な配置（「平行，垂直，含まれる」ではない）ときは，像である平面は，xy平面ではないですね！
空間内での対称移動はイメージしにくく，このように文章だけで書かれても分かりにくいかもしれません．
ですが，
「平面を決定するには，何が決まればよいか？」
という意識があれば，特定は可能だと思います．
「３点」
「１点と１次独立な２ベクトル」
「１点と法線ベクトル」
「含まれる２直線」
図をイメージできなくても，定性的に，情報をもとに「これしかないと特定する」という発想は大事です！
見えなくても，「こう決まったから，こうなんだ」という割り切り（？）も必要になります．
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