２重線の「⇒」は，「命題」を作る記号．
１重線の「→」は，高校教科書には登場しないですが，前後に「命題」や「条件」と伴って「ならば」を表すものです．
この点をちょっと説明します．
適当な集合Aを全体集合として，「条件」の
p(x)→q(x) （p(x)ならばq(x)）
から，「命題」の
すべてのxで「p(x)→q(x)」が成り立つ
を作ります．
この命題を，２重線矢印で
p(x)⇒q(x)
と略記します．
p(x)⇔q(x)は，
すべてのxで「p(x)→q(x)」が成り立つ
かつ
すべてのxで「q(x)→p(x)」が成り立つ
を略記してものです．
ここが明記されていないため，誤解が生じてしまう危険があります．
教科書などでは，単に，
命題「p(x)ならばq(x)」
命題「p(x)⇒q(x)」
と書かれていて，これを見て上のように解釈するのは難しいでしょう．
唐突に「命題：p(x)ならばq(x)」と書かれて，
なぜ「条件」じゃなくて「命題」なの？
と気付けるかどうかがポイント！
その疑問を解決してあげられる大人でありたいと思います．
教科書では，その後に集合を使って，
命題「p(x)⇒q(x)」が真とは
P={x∈A|p(x)が真}⊂Q={x∈A|q(x)が真}
と書かれています．
この集合による記述からくみ取るしかないのですね．
う～～ん，難しい！！
さて，「２＞１⇔３＞２」について．
命題「２＞１」は真，命題「３＞２」は真だから，
命題「２＞１→３＞２」は 真
命題「３＞２→２＞１」は 真
です．よって，
命題「２＞１⇄３＞２」は 真
です．
「命題」が真です！！
矢印の前後が命題なので，全体としても命題ですね．
「２＞１⇔３＞２」は２重線の⇔だから「命題」ですが，そもそもの部分で問題点がありませんか？
なぜなら，⇔の前後にあるのは「条件」であるべきだからです．
条件は，変数に値を代入するごとに命題になる（真偽が決まる）ものですが・・・
変数が無い！
実は
「x+２＞x+１⇔x+３＞x+２」
だったりするのでしょうか？
変数を明示していないのに「条件」と言えるのでしょうか？？？
「２＞１⇔３＞２」という記述は意味をなしていない，と私は思います．
みなさま，どう思われますか？
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