以前は同値記号⇔をよく使っていました．
学生の頃は一切使っておらずでしたが，この仕事について初めて使うようになりました．
何も考えずに使っている時期もありましたが，よくなかったなぁ，と反省しています．
当時は，条件と命題の違いも言語化できていなかったのではないか，と思うほどです．
今回は，生徒の答案を見て思ったことをもとに，ちょっと整理しておこうかなと思って書いています．
証明するのは「命題」．
「命題」は，真偽が確定するような数学的な文章（意味をなしていないものはダメ）．
xは実数とする．x≧3において，x^2－2x－1＞0が成り立つことを示せ．
という問題を出されたら，示すのは何でしょう？
「x^2－2x－1＞0」ではないですよ！
だって，これは，「条件」ですから．
「条件」は，変数を含んでいて，「全体集合」に含まれるものを変数に代入したら「命題」になるもの．
全体集合があって初めて条件なんですね．
全体集合をU＝{x | x≧3}として，xに関する「x^2－2x－1＞0」という“条件”を考えていることになります．
証明する（“真”であると論証する）のは，
「x∈Uを満たすすべてのxでx^2－2x－1＞0が成り立つ」
という“命題”です．
「x∈Uを満たすすべてのxで」が付いていると，xに何か代入するもの（条件）ではなく，真偽が確定するもの（命題）になるのです．
「あらゆるxを代入して，必ず真になるか？」という問いが真か偽か，答えるからです．
また，同値記号⇔は，「必要十分条件」という言葉からも分かるように，“条件”と“条件”をつなぐものです．そのさい，全体集合Uは固定されていることに注意です！
（証明例）
U＝{x | x≧3}とする．x∈Uについて
x^2－2x－1＞0 ⇔ (x－1)^2－2＞0
⇔ x＞1＋√2 ⇔ x≧3
であるから，“命題”「x≧3において，x^2－2x－1＞0が成り立つ」は真である．
だから，x∈Uについて，
・x-1＞0だから， (x－1)^2－2＞0 ⇔ x＞1＋√2
・1＋√2≦3だから， x＞1＋√2 ⇔ x≧3
となるのです．
極端な例では，次のような同値変形も可能です．
0≦x≦πにおいて，
0≦sin x≦1 ⇔ -1≦sin x≦1 ⇔ -20≦sin x≦100
また，
x∈Uを満たすすべてのxで x^2－2x－1＞0 が成り立つ
⇔ x∈Uを満たすすべてのxで (x－1)^2－2＞0 が成り立つ
⇔ x∈Uを満たすすべてのxで x＞1＋√2 が成り立つ
⇔ x∈Uを満たすすべてのxで x≧3 が成り立つ
と書いてはダメですよ！
丁寧に書いたつもりでも，“命題”と“命題”を同値記号⇔でつないじゃってますから！
もちろん，
「見えない文字があって，その文字に関する条件なんだ！」
と主張することは可能ですが，それなら，その文字と，文字に代入できるものを表す全体集合を明示しましょうね！
この観点だけで書かれた稀有な本（賛否両論ですけど）
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