kに関する条件p(k)は，kに数値を代入するごとに命題になり，真偽が決まるのでした．
p(1)は真，p(2)は偽，・・・
という感じです．
ある日本語を条件に付け足すと，命題に変わります．
１つ目：
すべてのkについてp(k)が成り立つ
２つ目：
p(k)を満たすkが存在する
いずれも，kに値を代入するごとに命題になるものではなく，真偽の決まる文，つまり，命題になっていますね！
1つ目：
p(1)もp(2)も，・・・すべて真か？
２つ目：
p(1)，p(2)，・・・の中に，真になる命題はある？
いずれもYesかNoで答えるもの（命題）になっています．
「３点A,B,Cが同一直線上」というA,B,Cの条件と同値になるのは
１つ目：
すべてのkで，ベクトルAB＝k×ベクトルACが成り立つ
２つ目：
ベクトルAB＝k×ベクトルACとなるようなｋが存在する
のどっち？
そう，２つ目ですね！
異なる3点A,B,Cが同一直線上にある
⇔ ベクトルAB＝k×ベクトルACとなるようなｋが存在する
と書いてあれば，何も問題はありません．
ただし，「異なる3点A,B,Cが同一直線上にある」という状況を説明しているだけで，「実際に３点が同一直線上にある」と分かっているのではありません！
条件と情報は違うのでしたね．
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