私が書くなら，次のようにします．
【解】
(t,t^2)[ を接点とすると接線は ・ における接線は ]
y＝2tx－t^2 …①
(0,a)を通る[ 条件は ・ から ]
a＝－t^2 …②
②が異なる２つの実数解をもつ[ 条件は ・ から ]
a＜0 ■
ですね．
２本の接線が存在する条件は，接点が２つ存在する条件（実際に存在するかどうかは不明）．
存在するかどうかを議論すべき接点を，置いてしまうのはどうかと思います．
だから，「における接線は」で，細かいことは考えずに接線の方程式①を作っておきましょう．
(0,a)を通ることが分かっているのではなく，通る「条件」を考えたいのだから，「条件は」ですね．
②は，“文字a,t”に関する「条件」です．
x,y,tの式①がx=0,y=aで成り立つ条件だから，x,yが消去されて，a,tだけの式②になったわけです．
この条件②を満たす「実数tが２つ存在する」ことが，“文字a”が満たす「条件」です．
だから，②が異なる２つの実数解をもつ「条件」を考えます．
これは，tを消去するということで，“文字a”に関する「条件」になります．
「細かいところばかり気にしていると答案を書けなくなってしまう」という声もあります．
仰る通り！
でも，ある程度は答えが出せるようになってきたら，こういうところにも意識が向くようになると良いですね．
だって，ちゃんと意味が分かって解いていたら間違えないですから（笑）
「細かいところを気にし過ぎ」と感じてしまう人は，解法当てはめで何となく答えが出ているだけで，「なぜこれで答えなの？」と聞かれても明確には説明できないかも知れません．
「だって，そう習ったもん」は理由じゃないですからね．
せっかく数学をやるのだから，正しく判断できる人になって欲しいな，と思います．
少ない道具で戦うための必須のスキルだと思います！
（あきらめて，参考書を丸暗記しても良いですけど・・・いや，無理でしょ）
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