条件 p(x) は，x に代入するごとに命題（真偽が決まる）になるものでしたね．
命題p(0)は真，命題p(π)は偽
という具合に．
p(x)→q(x)
は，x に何か代入しないと真偽が決まらないので，「条件」．
任意の x について「p(x)→q(x)」
とすると，「命題」になるのですね．
この「命題」が真のときに，高校数学では，「条件：p(x)→q(x)」が真，と言うローカルルールがあります．
このローカルルールしか知らない人がほとんどなのですけどね．
しかし，代入できる x の範囲を決めておかないと，意味をなさないのでした．
そこを突いたのが，今回の問題．
集合Ａの要素についての条件を考えましょう．
x∈Ａについて，p(x)→q(x)
が真になるのは，
Ｐ＝{a∈Ａ|p(a)が真}，Ｑ＝{a∈Ａ|q(a)が真}
というＡの部分集合について
Ｐ⊂Ｑ
が成り立つとき．
集合Ａの要素についての条件p(x)がq(x)の必要十分条件になるのは，Ａの部分集合として
Ｐ＝Ｑ
となるときです．
ちなみに，２つの集合Ｓ，Ｔについて，２つの集合が一致（Ｓ＝Ｔ）とは，
Ｓ⊂Ｔ かつ Ｔ⊂Ｓ
が成り立つことを言います．
ということで，
⓪ Ｐ：偶数全体の集合，Ｑ：４の倍数全体の集合 Ｐ⊃Ｑ
① Ｐ：偶数全体の集合，Ｑ：４の倍数全体の集合 Ｐ⊃Ｑ
② Ｐ：偶数全体の集合，Ｑ：４の倍数全体の集合 Ｐ⊃Ｑ
③ Ｐ＝∅，Ｑ＝∅ Ｐ＝Ｑ ∴適
④ Ｐ：４の倍数全体の集合，Ｑ：４の倍数全体の集合 Ｐ＝Ｑ ∴適
⑤ Ｐ：偶数全体の集合，Ｑ：４の倍数全体の集合 Ｐ⊃Ｑ
⑥ Ｐ＝∅，Ｑ＝∅ Ｐ＝Ｑ ∴適
となります．
③，⑥を自信満々で選べる高校生はどれくらい居るでしょうか？
（私の教え子たちは，選べるようになりました！）
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