ちょっと前の記事の続きです．
イプシロンは卒業！ “攻め”の収束！ - yoshidanobuo’s diary
何かキッカケがあると，急に世界が開けることってありますね．
数学をやる楽しみの１つです．
常に嗅覚を敏感にしておきたいですね．
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数列{a_n}がαに収束するとき，
lim (a_1＋‥‥‥＋a_n)/n ＝α ‥‥‥①
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が成り立つことをイプシロンで証明し，これを用いて
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数列{a_n}がαに収束するとき，
lim (1・a_1＋2・a_2＋‥‥＋n・a_n)/(1＋2＋‥‥＋n) ＝α
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が成り立つことを導きました．
a_1， ☜1個
a_2，a_2， ☜2個
a_3，a_3，a_3， ☜3個
a_4，a_4，a_4，a_4， ☜4個
a_5，‥‥‥
という数列で①を利用したのでした．
この考え方を拡大解釈すると，どんなことができるでしょうか？
自然数値をとる数列{b_n}が与えられているとします．
k＝1，2，3，‥‥に対して，a_kをb_k個ずつ並べて数列を作ってみましょう．
a_1，‥‥，a_1， ☜b_1個
a_2，‥‥，a_2， ☜b_2個
a_3，‥‥，a_3， ☜b_3個
a_4，‥‥，a_4， ☜b_4個
a_5，‥‥‥
すると，数列{a_n}がα収束するから，この数列の極限はαです．
この数列は{c_n}とおいておきます．
先日と同様の議論をしてみましょう．
①より，
lim (c_1＋‥‥‥＋c_n)/n ＝α
です．
n＝b_1，b_1＋b_2，b_1＋b_2＋b_3，b_1＋b_2＋b_3＋b_4，‥‥‥
として考えることで，
lim (b_1・a_1＋‥‥＋b_n・a_n) / (b_1＋‥‥‥＋b_n)＝α
が分かります！
ちょっとややこしいかも知れませんが，けっこう面白い結果じゃないかと思います．
前に書いた記事と合わせて，ここまでがシャワー中に思いついたことでした．
計算を書かなくても，100％の確信をもって，一瞬でこれくらいまで展開してしまうのが不思議です．
数学は止められない（笑）
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