|x|≦1かつ|y|≦1かつ|z|≦1
と書けば立方体を表すわけですが，ぜんぜん楽しくないですね．
例えば，
|x-1|+|x+1|=2 ……①
は，-1≦x≦1を表す（後述）のですから，これを利用してしまえばよいのです．
{|x-1|+|x+1|-2}^2+{|y-1|+|y+1|-2}^2+{|z-1|+|z+1|-2}^2=0
は立方体です．なぜなら，０以上の３数の和が０なのだから，すべて０となり，
|x-1|+|x+1|=2 かつ |y-1|+|y+1|=2 かつ |z-1|+|z+1|=2
∴ -1≦x≦1 かつ -1≦y≦1 かつ -1≦z≦1
を表しているからです．
＜①の補足＞
①は，x<-1においては
-x+1-x-1=2 つまり x=-1
で不成立．同様にしてx>1でも不成立．-1≦x≦1においては
-x+1+x+1=2 つまり 2=2
で，すべてのxで成立．それゆえ，①は-1≦x≦1と同じ意味です．
これで満足していては，私ではありません（笑）
ガウス記号
[x]=(x以下の最大の整数)
を用いても表せるのではないか，と考えたのです．いわゆる整数部分です．
実数xについて
[x]=0 ⇔ 0≦x<1
を利用します．
写真１つ目の式．
[|x|]これは，|x|の整数部分だから値は０以上．０以上の３数の和が０なので，
[|x|]=0 かつ [|y|]=0 かつ [|z|]=0
∴ 0≦|x|<1 かつ 0≦|y|<1 かつ 0≦|z|<1
つまり，
-1<x<1 かつ -1<y<1 かつ -1<z<1
立方体になりましたね．
ただし・・・
【皮ナシ】
です．表面の点は入っていません．
ガウス記号は整数部分を表しますが，y=[x]という関数はfloor関数と言います．床のfloorです．整数ごとに値を区切り，下の値にしてしまうからです．
一方で，天井関数というものもあります．ceiling関数で，それは上の値にしてしまうものです．ｍを任意の整数とするとき，実数xについて
ceilimg(x)=m ⇔ m-1<x≦m
⇔ -m≦-x<-m+1
⇔ floor(-x)=-m
となります．だから，
ceilimg(x)=-[-x]
です．
ceilimg(2.5)=3
-[-2.5]=-(-3)=3
これを使ってみたらどうでしょう？そうして考えたのが写真の２つ目です．
今回は２乗の和が０だから，ぜんぶ０．
実数xについて
[1-|x|]=0 ⇔ 0≦1-|x|<1
⇔ 0<|x|≦1
となります．だから，写真の式は
0<|x|≦1 かつ 0<|y|≦1 かつ 0<|z|≦1
です．立方体から，3平面x=0とy=0とz=0が除かれています．
これを例えるなら
【サイの目切り】
です！
でも・・・どうせなら完全な立方体と作りたくありませんか？
そうして考えたのが３つ目です．
けっこう面白いですよ．生徒からは絶賛してもらいました（笑）
[2(1-|x|)/3]=0
を解いてみてください！実数xについて
[2(1-|x|)/3]=0 ⇔ 0≦2(1-|x|)/3<1
⇔ 0≦2(1-|x|)<3 ⇔ 0≦1-|x| かつ 1-|x|<3/2
⇔ -1/2<|x|≦1
で，これは，0≦|x|≦1と同じ意味です！
左側を負の数にして０以上を作る．
これ，けっこう面白くないですか？
マニア向けですけど（笑）
ということで，最後が【完全なる立方体】でした．
