クラインの壺ってご存じでしょうか？
時間を自由に行き来できる「輪っか」を，あなたは持っているとします．
その輪っか（円）を過去に向かって投げてみます．
その円はブーメランのように旋回して，過去から現在に戻ってきます．
投げ出したところで円をキャッチします．
（円は時々で適当に大きさが変化していると考えてください）
ただし，戻ってくるとき，円は，“投げ出し”たときの円の内側から返ってきたことにしましょう．
その間に，円が通ったところを全部集めて図にしたものが，「クラインの壺」です！
クラインの壷は、“中”に戻ってきたのを，スタートの円とくっ付けたもの．
（もし円が“外”から戻ってきたとしたら，単なるトーラス（ドーナツの表面の曲面）です）
色が濃いところほど，遠い過去にあると思って見てください．
投げたばかりの円が通ったのが白いところ．
しばらく現在を進んだ後，少し色の濃い部分（ちょっと過去）にいきます．例えば１秒前とか５秒前とか．
そして，一番濃いところ（例えば10秒前）のまでいくと，そこで空間的に旋回して戻りだします．
同時に，時刻も現在方向に戻ってくることにします．
すると，５秒前とか１秒前とか，そういう過去を通って，色が薄くなりながら，円は再び現在（白いところ）に戻ってきています．
内側から戻ってきたとしたら，クラインの壺という表裏の無い変な曲面を構成します．
外側からふつうに戻ってきたら，トーラスをなします（一部は過去を通っている）．
これを別の解釈で捉えることもできます．
伸縮自在のゴム製の円柱があるとします．
その円柱を伸ばして，両端の円を貼り合わせます．
すると，ふつうは，ドーナツの表面（“トーラス”という図形）が得られます．
次に，クラインの壺を考えます．
ふつうでない方法で，円柱の両端の円を貼り合わせてみます．
まず，円柱を“４次元空間”に置きます．
この時点でイメージがわかないわけですが・・・
抽象的には，４つの数値（x,y,z,w）で位置を特定するのが４次元です．
解釈としては，((x,y,z),t）という風に，３次元の位置(x,y,z)と時刻tの４数のセットで時空（空間と時間を合わせたもの）を表すこともできます．各点(x,y,z)には(－∞，∞)の各時間における情報も与えることができる，ということです．
また，４つ目の次元を色にとることもあります．例えば，グレースケールの値．３次元空間内の各点には，(－∞，∞)の色を付けることができて，((x,y,z),色)で４次元を表現することもできます．
この２つの解釈を合わせて考えたのが，上の輪っか投げによる説明です．
まず，円柱の【左端】から真ん中くらいまでを「現在の空間」に置いたまま，残り半分を少しずつ過去の空間に送っていきます．
ある過去の瞬間，例えば「10秒前の空間」に残り半分を出現させます．
「10秒前の空間」内で，ゴムを伸ばしていきます．
【右端】が，現在の空間で【左端】がある位置に来るまで伸ばしていきます．
同じ位置でも，時間が違うので，これらは交わっていません！
次に，【右端】を現在に戻していきます．
そうすると，「現在の空間」では【右端】と【左端】が同じところに来るので，そこでくっつけすことができます．
「現在の空間」と「10秒前の空間」に円柱の大部分があります．
では，その間の時刻の空間，例えば「5秒前の空間」には何があるでしょうか？
【右端】を過去に送る過程，現在に戻す過程の2回，この空間を通過するので，円が２つ，あります．
色の濃さが違うところは，4次元空間における，異なる３次元空間に在ります．
過去と現在（白とグレー）は，場所は同じでも，時刻が違うので，交わってはいないんです．立体交差ならぬ，時間交差．
過去にここに住んでいた人と出会ったら怖いでしょ(笑)
このようにスキャンする感じで見ていくと４次元がイメージできるのですけど・・・
伝わったでしょうか？
