教科書の漸化式に関する部分に，次のような記述があります．
【漸化式がa_(n+1)=a_n+(nの式)の形のとき，階差数列を利用する方法で，一般項が求められることがある．】
何とも意味深な書き方です．
求められることがある．
では，求められないこともあるのか？
ここだけを読んで考えてもよく分かりません．
関連する部分を調べてみましょう．
一般項の説明は，次のようになっています．
●一般項の定義●
a_n=2n-1のように数列{a_n}の第n項a_nがnの式で表されるとき，これを数列{a_n}の一般項という．一般項が与えらられると，nに1,2,3,……を代入することにより，その数列の各項を求めることができる．一般項を用いて{2n-1}と表すこともある．
➤nの“式”で，n=1,2,3,……を“すべて”代入できるものが，一般項か？
“式”の定義が明確ではない気がするけれど，とりあえずこれが定義だとすると・・・
●{a_n}:-1,1,-1,1,……
a_n=(-1)^n は一般項
a_(2m-1)=-1,a_2m=1 は一般項ではない
●{a_n}:-5,2,4,8,……
a_1=-5,a_n=2^(n-1) (n≧2) は一般項ではない
➤「第n項をnの式で表せ」なら，nの値によって場合分けして答えても良いが，「一般項を求めよ」では分けるのは許されない
よし，一般項を求めよう！
初項だけ本来の値よりも6小さくなっているから，
a_n=2^(n-1)-6*[1/n]
で表せますね！
なお，ガウス記号は，整数部分で，
{[1/n]}:1,0,0,0,0,……
●階差数列と一般項●
{a_n}の階差数列を{b_n}とすると
n≧2のとき a_n=a_1+Σ_(k=1)^(n-1) b_k
この“式”ではn=1を代入できないから，一般項とは言えない！
a_1=0,a_(n+1)=a_n+1/n^2
など．
だから，和が計算出来て，nを用いた式で表せて，しかもn=1でも成り立つときのみ，「一般項が求められる」のでしょう．
そうそう，n=1が例外になるタイプ，もう１つ思いつきますね．
●数列の和と一般項●
数列{a_n}の初項から第n項までの和をS_nとすると
初項は a_1=S_1
n≧2のとき a_n=S_n-S_(n-1)
上記が一般項の定義であるとすると・・・
S_n=n^2である数列{a_n}の一般項を求めよ．➤ＯＫ！
S_n=n^2-1である数列{a_n}の一般項を求めよ．➤ＮＧ！
S_n=n^2-1である数列{a_n}の第n項を求めよ．➤ＯＫ！
となるのかも知れませんね．
つまり，S_n=n^2-1である数列{a_n}は，
a_1=1-1=0
n≧2のとき，
a_n=(n^2-1)-{(n-1)^2-1}=2n-1
で，初項だけ例外的です．
{a_n}:0,3,5,7,9,……
一般項を求るなら・・・
またガウス記号では面白くないので，
a_n=lim(m→∞)(2n+1-(1/n)^m)
とか，
a_n=min{2n-1,3(n-1)}
とかね．
●おまけ●
ふと思ったのですが，
a_1=0,a_(n+1)=a_n+1/n^2
の例，n≧2のとき
a_n=Σ_(k=1)^(n-1)(1/k^2)
で，n=1を代入できず，一般項とは認められないわけですが・・・
a_n=Σ_(k=1)^(n)(1/k^2)-1/n^2
にしてしまえば，n=1でも成立してしまいますね（笑）
これは，一般項と呼べるのでしょうか？？
つまり，「Σ_(k=1)^(n)(1/k^2)-1/n^2」はnの“式”なんでしょうか？
Σを用いたものは，nの“式”に含めない可能性も否定できないな，と気づいてしまい，ここまでの議論は，前提が誤っている可能性もある，ということになってしまいました．
謎は深まるばかり・・・
（結論を期待されていた方，ごめんなさい）
