禅問答のようなタイトル(笑)
等差数列×等比数列のタイプは,和を求める流れが確立されています.
a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき,
S_n=1*1+2*3+3*3^2+‥‥+n*3^(n-1)
3S_n= 1*3+2*3^2+‥‥+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
で,2式の両辺の差を計算すると
-2S_n=1+3+3^2+‥‥+*3^(n-1)-n*3^n
= (3^n-1)/2-n*3^n
∴ S_n={(2n-1)3^n+}1/2
でも,メンドクサイ!
そんな人にオススメなのが,「和を求めずに和を求める」方法!
a_(n+1)=(n+1)3^n
を代入したら,右辺にある和Σk*3^(k-1)が求まります!
もう一つの和は,等比数列の和ですからね!
※階差数列の一般項は,数を並べて求めているのではなく,
既知の一般項でa_(n+1)-a_nを計算してます!
階差数列の中に自分自身が含まれているタイプでは,階差数列を用いて一般項を表そうとすると,自分自身の和を計算することに.
一般項が分かっているときは,自分自身が和の計算結果で表せることを利用して,和を求めることができる.
あまり経験したことのない観点ではないかと思い,紹介しました.
知っている知識・技能を,自分にとっての「基本」と言えるまでイメージを深めておくと,色んな場面で使えるし,すごい閃きのような状態が起きるかも知れません.
でもそれは,無から生まれるのではなく,イメージ化までできている「自分にとっての基本知識・技能」のおかげなのですね.
基本と言えない理解度の知識技能を増やすのか,少数の知識技能を徹底的に深く理解するのか,勉強の方針は,そのバランスをとることだろうと思います.
前者に偏る過去の苦行のような勉強法が少しずつ緩和されつつあるのが,実に喜ばしいです.
まだまだこれからですけどね.
そんな感じの数学への道しるべ.
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数B編の完成まで,しばらくお待ちください!