漸化式&帰納法バージョン
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n倍角の公式を表す多項式(チェビシェフの多項式)の係数の秘密① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー
漸化式を使って帰納法で示すのは,連鎖的な構造が分かって気持ちいいですが,「そのもの」をスパッと考えていないから,ちょっとモヤモヤしたものも残りませんか?
僕だけ??
ということで,一般項的に一発でドーンと示す方法を考えましょう.
T_nの定数項 T_n(0)については,0=cos(π/2)だから,
T_n(cosθ)=cos(nθ)
にθ=π/2を代入したら,直接的に考えることができます!
では,T_nのxの係数はどう考えましょうか?
実は,これも,何かに,何かを代入することで,直接考察が可能です.
何と,微分するのですね!
f(x)=(2次以上)+ax+b
は,微分すると,
f'(x)=(1次以上)+a
だから,f'(x)の定数項がaになります.つまり,
a=f'(0)
です.
チェビシェフでは,T_n'(0)を考えたいのですが,それは
T_n'(cos(π/2))
ということです.
T_n(cosθ)=cos(nθ) …①
の両辺を,θで微分してみます(θですよ!).
左辺のT_n(cosθ)は,
T_n(x)にx=cosθを代入
しているので,合成関数の微分です.
d(T_n(cosθ))/dθ=T_n'(cosθ)×d(cosθ)/dθ
=-sinθ・T_n'(cosθ)
なので,①の両辺をθで微分すると
-sinθ・T_n'(cosθ)=-n sin(nθ)
が得られます.
これにθ=π/2を代入したらどうなるでしょうか?
-1・T_n'(0)=-n sin(nπ/2)
∴ T_n'(0)=n sin(nπ/2)
よって,
nが偶数のとき,T_n'(0)=0
nが奇数(n=2m-1)のとき,T_(2m-1)'(0)=n×(-1)^(m-1)
予定通り,T_1,T_3,T_5,T_7,……のxの係数が
1,-3,5,-7,9,-11,……
となることが分かりました!
帰納法よりも圧倒的に気持ちいいのは,僕だけでしょうか?
いや~,きもちいい!
今回の手法「微分&代入で係数を求める」は,大学数学のテーラー展開にもつながっていきます!
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