2回連続で,禅問答のようなタイトル(笑)
求める和も同じです.
違うのは,漸化式.
a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき,a_nは等差数列×等比数列なので,
①等差数列で割ったら,等比数列
②等比数列で割ったら,等差数列
です.
①からは,数列{a_n/n}が公比3の等比数列で
a_(n+1)/(n+1)=3×a_n/n
が得られて,{a_n}の漸化式にすると
a_(n+1)=3(n+1)×a_n/n
です.これはこれとして面白いですが,今回は②で頑張ります.
数列{a_n/3^(n-1)}が公差1の等差数列で
a_(n+1)/3^n=a_n/3^(n-1)+1
が得られて,{a_n}の漸化式にすると
a_(n+1)=3a_n+3^n ‥‥(*)
です.
(*)からは,
「消える差を利用して和を求める」を漸化式で実現できるのですね!
同じようなことを別ルートでもやることができて,それが今回のネタ.
まず,(*)の3^nを消去して,別の漸化式を作ることを考えます.
項数が1つ増えて,3項間漸化式にします.
(*)のnをn+1に変えると,
a_(n+2)=3a_(n+1)+3^(n+1)
3^(n+1)を消すために,(*)の両辺に3をかけます.
3a_(n+1)=9a_n+3^(n+1)
2つの差をとると,3^(n+1)を消すことができて
a_(n+2)-3a_(n+1)=3a_(n+1)-9a_n
∴ a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n ‥‥(#)
普通の漸化式の問題だったら,(#)から(*)を作ることが多いですが,一方通行だけでは,本当に分かっているとは言えないのかも知れませんね.
さて,(#)を利用して,どうやったら和が分かるか?
もちろん,差を使います.
a_nを「消える差」を使って表します.
だから,a_n以外を差にします.
まず,
a_(n+2)-a_(n+1)=5a_(n+1)-9a_n
とできて,左辺がいい感じの差になりました.
さらに,
a_(n+2)-a_(n+1)=5{a_(n+1)-a_n}-4a_n
と変形できるので,右辺にもいい感じの差が現れました.
残っているのはa_nだけです.だから,
a_n=(5{a_(n+1)-a_n}-{a_(n+2)-a_(n+1)})/4
とできてしまいますね.
この状態で足していくと,どんどん消えてしまって,「末項の前半」と「初項の後半」だけ残ります.
Σa_n=(5{a_(n+1)-a_1}-{a_(n+2)-a_2})/4
a_1=1,a_2=6なので,当てはめてみると良いのですね!
和は,消える差を利用したら求まる
漸化式は,一般項から逆算できる
という観点は,数列で思考・判断・表現力を重視するときに必須のものになると思います.
※補足※
差を作るための変形をしましたが,
a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n ‥‥(#)
の両辺の和を直接考えることもできます.
a_3=6a_2-9a_1
a_4=6a_3-9a_2
a_5=6a_4-9a_3
:
a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n
を全部足してみます.
S_n=a_1+a_2+a_3+‥‥+a_n
を基準にして考えると,少し調整が必要で
S_n +a_(n+2)+a_(n+1)-a_2-a_1
=6{S_n +a_(n+1)-a_1}-9S_n
となります.ここからも
S_n=(5{a_(n+1)-a_1}-{a_(n+2)-a_2})/4
を導くことができますね.
求めたいものを使って全体を表せないか,と考えると良いでしょう.
a_(n+1)=3a_n+3^n ‥‥(*)
からも似たような方法で考えられますから,チャレンジしてみてください!
階差数列を利用した前回のものも,ぜひ.
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和を求めずに,和を求める - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー
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