yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー

「大学への数学」執筆者・吉田信夫の数学探求ブログ(共通テスト系問題の研究報告)

続)和を求めずに,和を求める

2回連続で,禅問答のようなタイトル(笑)
求める和も同じです.
違うのは,漸化式.

a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき,a_nは等差数列×等比数列なので,

 ①等差数列で割ったら,等比数列

 ②等比数列で割ったら,等差数列

です.

①からは,数列{a_n/n}が公比3の等比数列

  a_(n+1)/(n+1)=3×a_n/n

が得られて,{a_n}の漸化式にすると

  a_(n+1)=3(n+1)×a_n/n

です.これはこれとして面白いですが,今回は②で頑張ります. 

f:id:phi_math:20210101230825p:plain

 数列{a_n/3^(n-1)}が公差1の等差数列で

  a_(n+1)/3^n=a_n/3^(n-1)+1

が得られて,{a_n}の漸化式にすると

  a_(n+1)=3a_n+3^n ‥‥(*)

です.

(*)からは,

 

f:id:phi_math:20210101231744p:plain


「消える差を利用して和を求める」を漸化式で実現できるのですね!

同じようなことを別ルートでもやることができて,それが今回のネタ.

まず,(*)の3^nを消去して,別の漸化式を作ることを考えます.
項数が1つ増えて,3項間漸化式にします.

(*)のnをn+1に変えると,

  a_(n+2)=3a_(n+1)+3^(n+1)

3^(n+1)を消すために,(*)の両辺に3をかけます.

  3a_(n+1)=9a_n+3^(n+1)

2つの差をとると,3^(n+1)を消すことができて

  a_(n+2)-3a_(n+1)=3a_(n+1)-9a_n

 ∴ a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n ‥‥(#)

普通の漸化式の問題だったら,(#)から(*)を作ることが多いですが,一方通行だけでは,本当に分かっているとは言えないのかも知れませんね.

さて,(#)を利用して,どうやったら和が分かるか?
もちろん,差を使います.

a_nを「消える差」を使って表します.
だから,a_n以外を差にします.
まず,

  a_(n+2)-a_(n+1)=5a_(n+1)-9a_n

とできて,左辺がいい感じの差になりました.
さらに,

  a_(n+2)-a_(n+1)=5{a_(n+1)-a_n}-4a_n

と変形できるので,右辺にもいい感じの差が現れました.
残っているのはa_nだけです.だから,

  a_n=(5{a_(n+1)-a_n}-{a_(n+2)-a_(n+1)})/4

とできてしまいますね.
この状態で足していくと,どんどん消えてしまって,「末項の前半」と「初項の後半」だけ残ります.

  Σa_n=(5{a_(n+1)-a_1}-{a_(n+2)-a_2})/4

a_1=1,a_2=6なので,当てはめてみると良いのですね!

 和は,消える差を利用したら求まる

 漸化式は,一般項から逆算できる

という観点は,数列で思考・判断・表現力を重視するときに必須のものになると思います.

※補足※
差を作るための変形をしましたが,

  a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n ‥‥(#)

の両辺の和を直接考えることもできます.

  a_3=6a_2-9a_1

  a_4=6a_3-9a_2

  a_5=6a_4-9a_3

    :

  a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n

を全部足してみます.

  S_n=a_1+a_2+a_3+‥‥+a_n

を基準にして考えると,少し調整が必要で

   S_n +a_(n+2)+a_(n+1)-a_2-a_1

   =6{S_n +a_(n+1)-a_1}-9S_n

となります.ここからも

  S_n=(5{a_(n+1)-a_1}-{a_(n+2)-a_2})/4

を導くことができますね.
求めたいものを使って全体を表せないか,と考えると良いでしょう.

  a_(n+1)=3a_n+3^n ‥‥(*)

からも似たような方法で考えられますから,チャレンジしてみてください!


 階差数列を利用した前回のものも,ぜひ.

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