チェビシェフの多項式T_n(x)は，
x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる
のでした！
漸化式を用いて数学的帰納法で証明しましたが，別の方法も考えてみましょう．
ここで，複素数が再登場です！
T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1
を別ルートから考えます．
z^6＋z^(-6)＝(z＋z^(-1))^6－6(z＋z^(-1))^4＋9(z＋z^(-1))^2-2
と計算できたのですが・・・ｚに何を代入しましょうか？
z＝cosθ＋i sinθ
ではどうでしょう？
z^(-1)＝(zの共役複素数)＝cosθ－i sinθ
∴ z＋z^(-1)＝2cosθ
であり，
z^6＝cos(6θ)＋i sin(6θ)
z^(－6)＝cos(6θ)－i sin(6θ)
∴ z^6＋z^(-6)＝2cos(6θ)
です．
ということは，
2cos(6θ)＝(2cosθ)^6－6(2cosθ)^4＋9(2cosθ)^2－2
となるのですね！
この状態での右辺は，(cosθ)^kの係数は2^kの倍数です！
両辺を2で割ると，T_6において，
x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる
と分かるのです．
ということで，一般的に言っておきます．
対称式の性質として，
z^n＋z^(-n)
は，z＋z^(－1)，z×z^(－1)の多項式として表せます．
z×z^(－1)＝1であるから，z＋z^(－1)の多項式として表せるのです！
（帰納法で示せます）
だから，z＝cosθ＋i sinθを代入することで，z＋z^(-1)＝2cosθより
2T_n(cosθ)＝f(2cosθ) 👈f(x)は係数が整数のn次式
となります．
よって，T_nにおいて，
x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる
と分かるのですね．
これで，かなりスゴイことを示す準備が揃いました！
乞うご期待．
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