※本稿は，高校数学における空集合の扱いについて考察するものです．
公理的集合論については，考えません！
n(Ａ∪Ｂ)＝n(Ａ)＋n(Ｂ)－n(Ａ∩Ｂ)
が常に意味をなすためには，要素の個数が０である集合が必要になる．
そうして定義された空集合は，あらゆる集合の部分集合である．
一般にＡ∩Ｂ⊂Ａであるから，Ａ∩Ｂ＝∅ であるようなＢを考えることで ∅ ⊂Ａとなるのである．
では，Ａに含まれる空集合と，Ｂに含まれる空集合は，同じなのだろうか？
空集合は１つしかないのだろうか？
結論は
「同じと言えば同じ，違うと言えば違う」
「１つと言えば１つ，色々と言えば色々」
である．
少し長くなるが，お付き合い願いたい．
さて，ここで，「集合の差」を定義しておく（高校数学では登場しないはず）．
Ａ－Ｂ＝(Ａの要素のうち，Ｂの要素でないもの全体の集合)
＝Ａ∩(Ｂの補集合)
☞ここでちょっとした疑問がある方，その通りです！
後ほど，詳しく考えましょう．
【空集合は１つ？―①】
一般に，
(Ａ－Ｂ)∩(Ｂ－Ａ)＝∅ ，Ａ－Ｂ⊂Ａ ，Ｂ－Ａ⊂Ｂ
であり，
∅ ＝(Ａ－Ｂ)∩(Ｂ－Ａ)⊂Ａ－Ｂ⊂Ａ
∅ ＝(Ａ－Ｂ)∩(Ｂ－Ａ)⊂Ｂ－Ａ⊂Ｂ
であるから，同じ空集合がＡ，Ｂに含まれている．
また，
∅ ⊂Ａ∩Ｂ，Ａ∩Ｂ⊂Ａ，Ａ∩Ｂ⊂Ｂ
であるから，この ∅ も，Ａ，Ｂに含まれている．
Ａに含まれる空集合と，Ｂに含まれる空集合は，同じであるようだ．
しかし，(Ａ－Ｂ)∩(Ｂ－Ａ)＝∅ の空集合と，∅ ⊂Ａ∩Ｂの空集合は，同じだろうか？
（(Ａ－Ｂ)∩(Ｂ－Ａ)）∩(Ａ∩Ｂ)＝∅
だから問題ないのだろうか？
Ａ⊃(Ａの部分集合)⊃(Ａの部分集合)⊃……⊃(Ａの部分集合)＝∅
とＡの部分集合を次々と連ねて空集合に至る道を作っていくと，どんな道も同じ空集合に至っているのであろう．
Ｂから初めて，どんな道をたどっても，同じ空集合に至る．
すべての道は空集合に至る．
【空集合は１つ？―②】
上では，少し胡散臭い説明になった．
１つしかないことを，しっかり確認してみたい．
空集合が２つあるとしてみよう．(空集合その１)と(空集合その２)である．
空集合は，あらゆる集合の部分集合であるから，空集合の部分集合でもある．
つまり，
(空集合その１)⊂(空集合その２)
(空集合その２)⊂(空集合その１)
の両方が成り立ち，これは２つの空集合が一致する，ということを意味する．
異なる集合であるはずが一致してしまったので，これは矛盾である．
よって，空集合は１つしかない！
【なぜ，あらゆる集合の部分集合なのか？―①】
上にも登場したが，「補集合」というものがある．
(Ａの補集合)＝(Ａに含まれないもの全体の集合)
では，空集合の補集合は？
(∅ の補集合)＝(∅ に含まれないもの全体の集合)
そもそも ∅ には何も含まれていないので，
(∅ の補集合)＝(すべてを含む集合)
である．除かれるものが無いからである．
すべてを含む集合を，「全体集合」という．
全体集合は，すべての集合を部分集合として含んでいる．
だから，補集合を考えることで，空集合は，すべての集合に部分集合として含まれている．
(任意の集合)⊂(全体集合)
∴ (任意の集合)⊃(空集合)
【なぜ，あらゆる集合の部分集合なのか？―②】
上の説明では，少しごまかしが含まれている．
そもそも，「すべて」とは？？
実は，この辺りで（素朴）集合論は限界を迎える．
すべての集合を要素としてもつ集合
というものを考えられないからである（その集合にそれ自身も含まれて，おかしなことになってしまう・・・）．
だから，命題
任意の集合Ａについて，「∅ ⊂Ａ」が成り立つ
は，集合論の命題ではなくなっている．
その説明は少しややこしいが・・・
集合に関する条件「∅ ⊂Ａ」の定義域（条件に代入して真偽を考えられるＡ全体の集合）が，集合にならないからである．
この困難を解決するのに，「公理的集合論」という大人の集合論が採用される．
しかし，高校数学でそれを持ち出すわけにはいかない．
だったら，どうするか？
高校数学に関連するすべての集合を要素にもつ集合
を便宜上，全体集合としてしまうのである．
大人でも，
ふつうに数学をやる上で困らないくらいの十分な量の集合を要素にもつ集合
を全体集合としていると考えられる．
この十分大きな全体集合をＸとおくことにする．
∅ ＝(Ｘの補集合)
である．Ｘ－Ｘといっても良い．
集合Ａについて
∅ ＝(Ａの部分集合)
⊂(Ａの部分集合)
⊂……
⊂(Ａの部分集合)
⊂Ａ
⊂(Ａを部分集合として含む集合)
⊂……
⊂(Ａを部分集合として含む集合)
⊂(Ａを部分集合として含む集合)＝Ｘ
という色んな道があり，その両端は必ず同一の空集合と全体集合である．
【実際に数学をやるときには・・・】
実際に問題を解いたりするときには，全体集合が，例えば「整数全体の集合Ｚ」や「実数全体の集合Ｒ」などに指定されているときがある．
(奇数全体の集合)
の補集合は，何だろうか？
(偶数全体の集合)
だろうか？
それは，全体集合がＺの場合である．
Ｚ－(奇数全体の集合)
＝(偶数全体の集合)
全体集合がＲの場合は
Ｒ－(奇数全体の集合)
＝(偶数全体の集合)∪(整数以外の実数全体の集合)
である．
このように，補集合というのは，全体集合の取り方によって変わってしまう相対的な概念である．
ここで，最後の疑問．
【空集合は，本当に１つなのか？】
全体集合Ｘを固定したら，空集合は
∅ ＝Ｘ－Ｘ
として定まり，ただ１つしかない！
しかし，異なる全体集合のもとで考えた空集合，例えば，
(Ｒでの空集合)＝Ｒ－Ｒ＝(ＲにおけるＲの補集合)
(Ｚでの空集合)＝Ｚ－Ｚ＝(ＺにおけるＺの補集合)
(平面ベクトル全体の集合での空集合)
は，同じものだろうか？
これは，前提となる全体集合が異なるので，同時に考えるものではない．
同じか違うか，議論するようなものではない！
どうしても議論したいならば，
Ｘ＝Ｒ∪(平面ベクトル全体の集合での空集合)
を新たな全体集合として，その中で，
Ｘ－Ｘ＝∅
を考えることになり，これ１つしか，空集合はない！
もし
と問われても・・・
全体集合が違うので，比較不能です
と答えるしかない！
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