チェビシェフシリーズ,最終章です!
角度が整数で,コサインが有理数になるのって,どんなとき?
なかなか深いテーマです.
これを扱うために,何回もチェビシェフの多項式について述べてきました.
集大成!
[結論]
0°~180°では,コサインが有理数になる整数の角度は
θ=0°,60°,90°,120°,180°
こんなこと,どうやったら示せるんでしょう?
ちょっと下準備から.
係数が整数の多項式f(x)において最高次の係数が1であるとします.
f(α)=0となる有理数αが存在したら,それは「整数」
となること,ご存じですか?
[証明]
α=p/q(p,qは互いに素な整数で,q>0)👈既約分数の形
がf(x)=0の解であるとき,
(p/q)^n+a(p/q)^(n-1)+‥+b=0
が成り立って,分母を払うと
p^n+ap^(n-1)q+‥+bq^n=0
q=1を示したいので・・・
p^n以外をすべて移項すると
p^n=q{ap^(n-1)q+‥+bq^(n-1)}
となって,右辺の整数はqの倍数.
よって,左辺の整数p^nもqの倍数だが,pとqは互いに素だから,q=1しかありえない!
つまり,αは整数である.
(証明おわり)
最高次の係数が1であるような,整数係数の多項式は,かなり特殊なのですね.
実数解は,整数でなければ,無理数となるのですから!
2cos(nθ)=(2cosθ)^n+(係数が整数の2cosθの多項式)
において,2cosθ=xとおくと,右辺は
x^n+(係数が整数のxの多項式)
と表せます.
最高次の係数が,何と,1ですね!
さて,角度が整数であるとは,どういうことでしょう?
1°は弧度法でπ/180です.
整数の角度は,πの有理数倍になっているので,適当な整数をかけると,2πの整数倍です.
θが整数°であるとします.
すると,nθが360°の何倍かになるような自然数nが存在し,cos nθ=1です.
ということは,
2cos(nθ)=2
∴ (2cosθ)^n+(係数が整数の2cosθの多項式)=2
ですから,
2cosθ=xとおくと,
x^n+(係数が整数のxの多項式)-2=0
となるのです.
xが有理数になることはあるのでしょうか?
もしあれば,最初に述べたように,xは,何と,「整数」です!
まとめます.
θが整数°であるとし,cosθが有理数であるとしたら,
2cosθが整数
ということが確定します!
-2≦2cos θ≦2だから,
2cosθ=-2,-1,0,1,2
∴ cosθ=-1,-1/2,0,1/2,1
しかありえないことが分かるのです!
だから,0°~180°では,コサインが有理数になる整数の角度は
θ=0°,60°,90°,120°,180°
に限定されます!
sinθ=cos(90°-θ)だから,サインが有理数になる整数の角度が
θ=0°,30°,90°,150°,180°
しかないことも分かりますね!
なかなかすごくないですか?
長らくのお付き合い,有難うございました.
また新シリーズを考えますので,よろしくお願いします.
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