チェビシェフの多項式T_n(x)は，２次以上の部分は，すべて係数が偶数になっているのですね！
ただし，ここに書かれているのはｎ≦６だけですから，ｎ≧７でもそうなっているのかは分からない！
この法則は，本当にずっと続くのでしょうか？
さて，以下，T_n(x)を略してT_nと書きます．
T_7＝2x×T_6－T_5
において，2x×T_6は係数がすべて偶数になります．
また，T_5のx^2以上の項も係数がすべて偶数です．
よって，T_7も，x^2以上の項は係数がすべて偶数です！
これがずっと続くことは，数学的帰納法で証明できそうです！
もう少し詳しく見ていきましょう！
T_nにおいて，x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になるのではないか？
です．
T_5＝(2^4)×x^5－10×(2^2)×x^3＋5x
T_6＝(2^5)×x^6－6×(2^3)×x^4＋9×(2)×x－1
なので，
T_7＝2x{(2^5)×x^6－6×(2^3)×x^4＋9×(2)×x－1}
－{(2^4)×x^5－10×(2^2)×x^3＋5x}
です．
x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になりますね！
これがずっと続くことは，数学的帰納法で証明できそうです！
ということで，チェビシェフの多項式は
T_2m(x)＝(2^(2m-1))×x^2m
＋(x^kの係数は2^(k-1)の倍数，kは偶数)
＋(－1)^m
T_(2m+1)(x)＝(2^(2m))×x^(2m+1)
＋(x^kの係数は2^(k-1)の倍数，kは奇数)
＋((－1)^m)×(2m＋1)x
となるのです！
私自身，これを発見したのはつい最近でした．
有名な事実なんでしょうかね？
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