チェビシェフの多項式は，グラフがピタッとしているから，気持ちいいですね．
TはチェビシェフのTかと思いきや，Chebyshevがチェビシェフなので，違うんですね．
三角多項式ともいうようなので，trigonometric polynomialのTかも知れません．
poly＝多
ですね！ポリゴン，ポリエチレン，ポリノミアル．
チェビシェフの多項式（以下，T_n(x)をT_nと略記します）は，３項間漸化式
T_0=1,T_1=x
T_(n+2)=2x T_(n+1)-T_n
で定まるので，色んな性質を帰納法で示せます．
漸化式から，次数が1ずつ増えていくことが分かって，T_nはn次式です．
n≧1において，最高次の係数は，2倍ずつ変化していくから，T_nのx^nの係数は2^(n-1)です．
T_1=1x
T_2=2x^2+…
T_3=4x^3+…
T_4=8x^4+…
T_5=16x^5+…
です．これで赤字部分の法則がずっと続くことが分かります！
もう少し詳しく見ていきましょう．
T_2=2x(x)-1
T_3=2x(2x^2-1)-x
T_(偶数)はx^(偶数)しか現れないし，T_(奇数)はx^(奇数)しか現れないことが分かります．
T_4=8x^4-8x^2+1 👈偶数次ばかり
T_5=16x^5-20x^3+5x 👈奇数次ばかり
だから，T_3,T_5などのT_(奇数)は定数項が現れません！
また，T_2,T_4などのT_(偶数)の定数項は，
1,-1,1,-1,……
が交互に現れます．
漸化式の最後の部分が，「-T_n」となっているからです．
これが分かっていると，T_(奇数)のxの係数の法則が分かります．
T_2=…-1
T_3=…-2x-x=…-3x
T_4=2x(…-3x)-(…-1)=…+1
T_5=2x(…+1)-(…-3x)=…+5x
となっていくので，T_1,T_3,T_5,T_7,……のxの係数は
1,-3,5,-7,9,-11,……
となるようです．
これで，色を付けた部分の法則が正しいことは全部分かりましたね！
他にも色々と分かることがありそうなので，またそれは次の機会に．
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