もしも，
「(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)が3乗数であることを示せ」
のような問題だった場合，(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)の概算によって，何を3乗した数と一致するのかを考えることになります．
そこで，(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)を評価してみよう，となるわけです．
（１の位の数を見たら分かる，というのは言わない！）
相加相乗平均の不等式（AM-GM）は，個数が増えても使えるのでした．ここでは３個バージョン．
コーシーシュワルツの不等式（C-H）は，ベクトルの内積が
(大きさ)×(大きさ)×(なす角の余弦)
であることを利用しているのでした．これも，何次元でも使えます．ここでは３次元バージョンを２通りで使ってみましたが，後でもう少し高次元でやってみます．
なお，C-Hを利用して，-1≦（相関係数）≦1が示せるのでした．
標準偏差が大きさ，共分散が内積に相当するからです．
ちなみに，XとYの共分散は，それぞれの平均m,nを使って
E( (X-m)(Y-n))
＝E(XY-nX-mY+mn)
＝E(XY)-nE(X)-mE(Y)+mn
＝E(XY)-mn
＝E(XY)-E(X)E(Y)
＝(積の平均)－(平均の積)
となる．
これを利用したのが，次のチェビシェフの不等式（Chebyと略してみた）．
(X,Y)＝(3,9),(4,16),(5,12)というデータは，XとYに正の相関があり，共分散は正．
つまり，
(積の平均)－(平均の積)＞0
(3×9+4×16+5×25)/3＞(3+4+5)/3×(9+16+25)/3
3×9+4×16+5×25＞(3+4+5)×(9+16+25)/3
これがチェビシェフの不等式と呼ばれるそうです．
最後は，y=3^3のグラフが下に凸であることを利用．
イェンセンの不等式とも呼ばれるもの．
グラフ上の3点(3,3^3),(4,4^3),(5,5^3)を頂点とする三角形の重心
((3+4+5)/3,(3^3+4^3+5^3)/3)
はグラフよりも上にある．つまり，
(3^3+4^3+5^3)/3＞((3+4+5)/3)^3
3^3+4^3+5^3＞3×(4^3)
さて，そこそこの精度の評価が得られて，6^3しかあり得ないことは分かるのですが，評価の精度をもっと高めたいというのが人情です．
そこで，
3^3+4^3+5^3
＝3×3^2+4×4^2+5×5^2
＝3^2+3^2+3^2+4^2+4^2+4^2+4^2+5^2+5^2+5^2+5^2+5^2
と見ます．すると，12次元ベクトル(3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5)の大きさです！
もう1つ，(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)をとって，大きさと内積の不等式（C-H）を作ると
(3^3+4^3+5^3)×(1+1+……+1)
≧(3×1+3×1+3×1+4×1+4×1+4×1+4×1+5×1+5×1+5×1+5×1+5×1)^2
よって，
3^3+4^3+5^3≧50^2/12＝625/3
＝208. 333……
となって，ものすごく良い評価！！
自己満足でしたw
