6倍角の公式の元になるチェビシェフの多項式は
T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1
でした．つまり，
cos(6θ)＝32(cosθ)^6－48(cosθ)^4＋18(cosθ)^2－1
となるわけです．2倍することで
2cos(6θ)＝(2cosθ)^6－6(2cosθ)^4＋9(2cosθ)^2－2
となり，ちょっと嬉しいのでした．
z＝cosθ＋i sinθ
z＋z^(-1)＝2cosθ
を利用した導き方が，僕はお気に入りです．
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n倍角の公式を表す多項式（チェビシェフの多項式）の係数の秘密⑤ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー
ここで，
6θ＝2mπ (m＝0,1,2,3,4,5)
となるθについて，
cos(6θ)＝1
∴ (2cosθ)^6－6(2cosθ)^4＋9(2cosθ)^2－4＝0
です．
2cosθ＝tとおくと
t^6－6t^4＋9t^2－4＝0
(t-2)(t+2)(t-1)^2(t+1)^2＝0
と因数分解できます．
実際，
θ＝mπ/3 (m＝0,1,2,3,4,5)
なので，順に
2cosθ＝2,1,－1,－2,－1,1
です．確かに，t＝2,1,－1,－2,－1,1が解です！
度数法で書くと
cos 0°＝1,cos 60°＝cos 300°＝1/2,
cos 120°＝cos 240°＝－1/2,cos 180°＝－1
で，角度が整数で，コサインの値がすべて有理数になっていますね！
これ以外に，角度が整数で，コサインが有理数になることって，あるのですかね？
cos 90°＝cos 270°＝0
もありますが・・・
実は，これだけしかありません！
2cos(nθ)＝(2cosθ)^n＋(係数が整数の2cosθの多項式)
となることから分かるのですけど，いかがでしょう？
詳細は，また次の機会に．
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